Banach Steinhaus et séries de Fourier
dans Les-mathématiques
Réf. Gourdon analyse p400
Soit la forme linéaire $l_n: C_{2\pi}\longrightarrow \C$
telle que:$l_n(f)=\sum_{p=-n}^{p=n}c_p(f)$ où les $c_p(f)$ désignent les coef. de Fourier de la fonction $2\pi$ périodique.
on montre facilement que $l_n(f)=\frac{1}{2\pi}\in_{-\pi}^{\pi}\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}f(t)dt$
et que $\vert\vert l_n \vert\vert\leq l_n(1)$
Je dis que de plus il est évident que cette borne est atteinte pour la fonction constante égale à 1 et donc que
$\vert\vert l_n \vert\vert= l_n(1)$
Je dois commettre un erreur, sinon pourquoi Gourdon se complique -t-il en introduisant une fonction $f_\epsilon(t)=\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin((2n+1)t/2)+\epsilon}$ en faisant tendre $\epsilon$ vers 0? Il doit bien y avoir une raison qui m'échappe.
Soit la forme linéaire $l_n: C_{2\pi}\longrightarrow \C$
telle que:$l_n(f)=\sum_{p=-n}^{p=n}c_p(f)$ où les $c_p(f)$ désignent les coef. de Fourier de la fonction $2\pi$ périodique.
on montre facilement que $l_n(f)=\frac{1}{2\pi}\in_{-\pi}^{\pi}\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}f(t)dt$
et que $\vert\vert l_n \vert\vert\leq l_n(1)$
Je dis que de plus il est évident que cette borne est atteinte pour la fonction constante égale à 1 et donc que
$\vert\vert l_n \vert\vert= l_n(1)$
Je dois commettre un erreur, sinon pourquoi Gourdon se complique -t-il en introduisant une fonction $f_\epsilon(t)=\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin((2n+1)t/2)+\epsilon}$ en faisant tendre $\epsilon$ vers 0? Il doit bien y avoir une raison qui m'échappe.
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Réponses
D'ailleurs ça doit plutôt être $f_{\varepsilon}=\frac{\sin((2n+1)t/2)}{\sin(t/2)+\varepsilon}$.
Attention il y a une valeur absolue!
Soit $f\in L^1(X)$ on cherche une suite de fonctions $(f_n)_n$de $\in L^{\infty}(X)$ telle que $\int_X f_nf d\mu $ converge vers $\int_X\vert f\vert d\mu$
il suffit de prendre $f_n(x)=\frac {f(x)}{\vert f(x)\vert +\frac{1}{n}}$ (qui tend vers le signe de $f(x)$)et appliquer le theo conv dominée.
Said
l'oubli de la valeur absolue m'a rappelé un exercice qu'on s'est posé ici et je ne sais pas est ce quelqu'un a repondu ou pas , bref l'exercice est le suivant:
$f_n(x)=1_{[-n,n]}\frac{sinx}{x}$
Montrer $\exists M>0$ telle que$\forall n \in \N$ $\vert\vert F(f_n)\vert\vert_{\infty}\leq M$
où $F$ est la transformation de Fourier
Said
Nos messages ont dû se croiser.
Tu avais effectivement raison concernant la valeur absolue. Je devrais m'acheter une autre paire de lunette ou bien réapprendre à lire.
On a en fait $\vert\vert l_n \vert\vert\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\vert \frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}\vert dt$
et la fonction constante ne marche pas. Tout irait bien si le rapport des sinus était positif, mais la présence du (2n+1) aun numérateur l'empêche.
Concernant ta question il faudrait retrouver le post.