Banach Steinhaus et séries de Fourier

Réf. Gourdon analyse p400

Soit la forme linéaire $l_n: C_{2\pi}\longrightarrow \C$

telle que:$l_n(f)=\sum_{p=-n}^{p=n}c_p(f)$ où les $c_p(f)$ désignent les coef. de Fourier de la fonction $2\pi$ périodique.

on montre facilement que $l_n(f)=\frac{1}{2\pi}\in_{-\pi}^{\pi}\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin(t/2)}f(t)dt$

et que $\vert\vert l_n \vert\vert\leq l_n(1)$

Je dis que de plus il est évident que cette borne est atteinte pour la fonction constante égale à 1 et donc que
$\vert\vert l_n \vert\vert= l_n(1)$

Je dois commettre un erreur, sinon pourquoi Gourdon se complique -t-il en introduisant une fonction $f_\epsilon(t)=\frac{sin((2n+1)t/2)}{sin((2n+1)t/2)+\epsilon}$ en faisant tendre $\epsilon$ vers 0? Il doit bien y avoir une raison qui m'échappe.