Probabilité additive et non sigma-additive

probabilité doit se lire entre guillemets !

J'imagine que tu parles d'une sous-mesure de masse $1$.
Si c'est bien ça, on peut facilement donner des exemples:
par ex, considère $\mu(A)= \liminf \frac{|A\cap[0,n]|}{n+1}$.
$\mu(\N)=1$, $\mu$ est finiment additive, mais ne peut pas être $\sigma$-additive (la mesure d'un singleton est nulle!).

L'inconvénient du copier-coller, c'est que ça copie aussi les fautes d'orthographe...

ah oui pardon ! (et merci VK)
Alors considère la limite de la même quantité suivant un ultrafiltre (j'ai remplacé ça au dernier moment par une limite inf, pour simplifier.. mal m'en a pris!).
Ca doit mieux marcher normalement! (et d'ailleurs, il me semble me rappeler maintenant qu'il ya besoin d'utiliser l'hypothèse du continu pour faire une telle sous-mesure qui soit universellement mesurable... d'où le fait qu'on ne puisse pas vraiment en "construire" une).

Ca risque d'être un poil long à expliquer, et il y a sûrement des gens ici qui feront ça mieux que moi...mais j'essaye quand même:
un filtre, c'est une partie non-vide $F$ de $ P(\N)$ qui est stable par intersection finie, passage aux sur-ensembles ($A \in F, B \supset A \Rightarrow B \in F $, et ne contient pas $\emptyset$.
Un ultrafiltre, c'est un filtre maximal pour l'inclusion; un exemple est donné par $\{A \subset \N \colon: n_0 \in A\}$, où $n_0 \in \N$; un tel ultrafiltre est dit \textit{principal}, et l'existence d'ultrafiltres non principaux dépend de l'axiome du choix.
C'est d'ailleurs d'un ultrafiltre non principal que j'ai besoin pour faire tourner la preuve ci-dessus (sinon, la limite est simplement le Dirac au point $n_0$); pour cela, il faut définir la notion de limite suivant un filtre d'une suite (ce que j'ai la flemme de faire là, maintenant, je l'avoue, peut-être que quelqu'un se dévouera, sinon j'y reviendrai).
Ensuite, il est assez facile de voir que, si $U$ est un ultrafiltre et $u_n$ une suite bornée de réels, alors la limite de $u_n$ suivant $U$ existe (c'est dû à la compacité des intervalles fermés bornés de $\R$) , et a les "bonnes" propriétés. C'est en fait une façon de construire des éléments du dual de $l^{\infty}$ qui ne sont pas dans $l^1$.
Voilà, je n'ai pas le courage de développer plus pour le moment, tu trouveras ça expliqué très clairement dans le Cours d'Analyse de Laurent Schwartz, entre autres.
J'essaierai d'y revenir ce week-end si quelqu'un ne l'a pas fait avant...

Salut,

une question connexe :

existe-t-il une probabilté $\mu$ sur $\N$ telle que pour tout entier $d$, $\mu(d\N)=\frac{1}{d}$?

cordialement,

F.D.

$\mathcal{F}$

Merci, Rémi.
Bonjour.
Je vais essayer de compléter un peu la réponse de Toposurloser.
J'utilise la notation fonctionnelle pour les suites, car c'est plus facile ici.
Soit donc $f$ une suite à valeurs dans $[0,1]$, c'est-à-dire une application de $\N$ dans $[0,1]$, et soit $l\in \left[ 0,1\right] $.
Soit par ailleurs $\mathcal{F}$ un filtre sur $\N$.
On dit que la limite de $f$ suivant le filtre $\mathcal{F}$ est égale à $l$ ssi
$\forall \varepsilon >0\exists F\in \mathcal{F},\forall x\in F,\left| f(x)-l\right| 0,\forall U\in \mathcal{U},\exists x\in U,\left| f(x)-l\right| \geq \varepsilon $
La famille des $\left] l-\varepsilon ,l+\varepsilon \right[ $ est un recouvrement ouvert de $[0,1], dont on extrait un sous-recouvrement fini $W_{1},...,W_{n}$ avec $W_{k}=\left] l_{k}-\varepsilon _{k},l_{k}+\varepsilon _{k}\right[ $.
On a donc $\forall U\in \mathcal{U},\forall k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\exists x_{k}\in U,x_{k}\notin W_{k}$.
Ceci prouve en particulier que $W_{k}\notin \mathcal{U}$
D'après une propriété caractéristique des ultrafiltres, c'est donc que $\lnot W_{k}\in U$, où $\lnot $ désigne le complémentaire.
Mézalor, $\bigcap_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e.
$\lnot \bigcup_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e. $\emptyset \in \mathcal{U}$, ce qui est absurde.

A l'avant-dernière ligne, il fallait bien sûr lire $\bigcap_{k=1}^{n}\lnot W_{k}\in \mathcal{U}$.

J'ai évidemment oublié de dire qu'un groupe dénombrable $\Gamma$ est moyennable s'il admet une mpfa invariante à gauche.
Référence :
Kechris-Miller : Topics in Orbit Equivalence Theory, disponible quelque part sur la page web d'Alexander S. Kechris

Un détail : tout groupe abélien est moyennable, la preuve n'est pas dure, mais il faudrait vraiment que je retrouve ce mémoire,

F.D.

Pour éviter le recours aux ultrafiltres, voici ma méthode :
soit E l'espace vectoriel des suites bornées et
soit F le sev des suites convergentes. Alors,
1) toute u de E est majorée par une v de F
2) sur F, v donne lim(v) est une forme linéaire positive.
Il en résulte qu'il existe sur E une forme linéaire positive, notée LIM,
qui prolonge lim.
Source : Bourbaki, EVT, chapitre 2, paragraphe 3, la démonstration
utilisant le théorème de Zorn.

Pour A dans N, on pose m(A) = LIM [ cardinal de A inter (0,n)/(n+1)] :
c'est une fonction d'ensemble positive de masse 1;
comme LIM est linéaire, m est additive;
comme les singletons sont de mesure nulle, m ne peut être
sigma-additive.
Merci à tous pour la qualité des réponses.
Daniel Saada