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Probabilité additive et non sigma-additive

Envoyé par Daniel SAADA 
Bonjour,

existe-t-il une probabilité sur P(N) qui soit seulement additive et non sigma-additive ?

Daniel SAADA
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
Bonsoir,

Une probabilité est en particulier une mesure, donc sigma-additive par définition. Ou alors ta définition de sigma-additivité diffère de la mienne ...

@+
probabilité doit se lire entre guillemets !
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
Bonsoir,

qu'est une "probabilité" alors ?
toposurloser
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
<latex> J'imagine que tu parles d'une sous-mesure de masse $1$.
Si c'est bien ça, on peut facilement donner des exemples:
par ex, considère $\mu(A)= \liminf \frac{|A\cap[0,n]|}{n+1}$.
$\mu(\N)=1$, $\mu$ est finiment additive, mais ne peut pas être $\sigma$-additive (la mesure d'un singleton est nulle!).
VK
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
<latex> Ce n'est pas additif, ça...

Prends $A$ et $B$ construites telles que $A \cup B = \N$, $A \cap B =\emptyset$~ par un procédé du genre~:
On met un gros paquet d'éléments succesifs dans $A$, de manière à rendre la densité de $B$ faible. Puis un gros paquet d'éléments succesifs dans $B$, de manière à rendre la densité de $A$ faible. Puis un encore plus gros paquet d'éléments succesifs dans $A$, de manière à rendre la densité de $B$ encore plus faible, etc...
On peut faire en sorte que $\mu(A) = \mu(B) = 0$ mais $\mu(A \cup B) = 1$.

VK
VK
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
L'inconvénient du copier-coller, c'est que ça copie aussi les fautes d'orthographe...
Bonsoir et merci,

Pourriez-vous expliciter A et B ?
D.S.
toposurloser
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
ah oui pardon ! (et merci VK)
Alors considère la limite de la même quantité suivant un ultrafiltre (j'ai remplacé ça au dernier moment par une limite inf, pour simplifier.. mal m'en a pris!).
Ca doit mieux marcher normalement! (et d'ailleurs, il me semble me rappeler maintenant qu'il ya besoin d'utiliser l'hypothèse du continu pour faire une telle sous-mesure qui soit universellement mesurable... d'où le fait qu'on ne puisse pas vraiment en "construire" une).
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
Bonsoir,

"ultrafiltre", qu'est-ce donc ?
toposurloser
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
<latex> Ca risque d'être un poil long à expliquer, et il y a sûrement des gens ici qui feront ça mieux que moi...mais j'essaye quand même:
un filtre, c'est une partie non-vide $F$ de $ P(\N)$ qui est stable par intersection finie, passage aux sur-ensembles ($A \in F, B \supset A \Rightarrow B \in F $, et ne contient pas $\emptyset$.
Un ultrafiltre, c'est un filtre maximal pour l'inclusion; un exemple est donné par $\{A \subset \N \colon: n_0 \in A\}$, où $n_0 \in \N$; un tel ultrafiltre est dit \textit{principal}, et l'existence d'ultrafiltres non principaux dépend de l'axiome du choix.
C'est d'ailleurs d'un ultrafiltre non principal que j'ai besoin pour faire tourner la preuve ci-dessus (sinon, la limite est simplement le Dirac au point $n_0$); pour cela, il faut définir la notion de limite suivant un filtre d'une suite (ce que j'ai la flemme de faire là, maintenant, je l'avoue, peut-être que quelqu'un se dévouera, sinon j'y reviendrai).
Ensuite, il est assez facile de voir que, si $U$ est un ultrafiltre et $u_n$ une suite bornée de réels, alors la limite de $u_n$ suivant $U$ existe (c'est dû à la compacité des intervalles fermés bornés de $\R$) , et a les "bonnes" propriétés. C'est en fait une façon de construire des éléments du dual de $l^{\infty}$ qui ne sont pas dans $l^1$.
Voilà, je n'ai pas le courage de développer plus pour le moment, tu trouveras ça expliqué très clairement dans le Cours d'Analyse de Laurent Schwartz, entre autres.
J'essaierai d'y revenir ce week-end si quelqu'un ne l'a pas fait avant...
VK
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
<latex> Bonsoir Daniel Saada,

Mettre par exemple le premier entier, c'est-à-dire $0$ dans $A$, puis les $2=2\times 1$ entiers suivants dans $B$, puis les $9= 3\times (1+2)$ suivants dans $A$, puis $48=4\times (1+2+9)$ entiers dans $B$, puis les $300=5 \times (1+2+9+48)$ prochains dans $A$, etc...

VK
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
avatar
<latex> Salut,

une question connexe :

existe-t-il une probabilté $\mu$ sur $\N$ telle que pour tout entier $d$, $\mu(d\N)=\frac{1}{d}$?

cordialement,

F.D.
Je voudrais développer un peu la réponse de toposurloser, mais auparavant j'ai une question très bête : comment fait-on les lettres rondes en latex ?
genre : F,U etc.
Car j'ai besoin d'écrire que l'ensemble F appartient au filtre F etc., et je crains que ça devienne vite relou...
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
avatar
<latex> $\mathcal{F}$
<latex> Merci, Rémi.
Bonjour.
Je vais essayer de compléter un peu la réponse de Toposurloser.
J'utilise la notation fonctionnelle pour les suites, car c'est plus facile ici.
Soit donc $f$ une suite à valeurs dans $[0,1]$, c'est-à-dire une application de $\N$ dans $[0,1]$, et soit $l\in \left[ 0,1\right] $.
Soit par ailleurs $\mathcal{F}$ un filtre sur $\N$.
On dit que la limite de $f$ suivant le filtre $\mathcal{F}$ est égale à $l$ ssi
$\forall \varepsilon >0\exists F\in \mathcal{F},\forall x\in F,\left| f(x)-l\right| 0,\forall U\in \mathcal{U},\exists x\in U,\left| f(x)-l\right| \geq \varepsilon $
La famille des $\left] l-\varepsilon ,l+\varepsilon \right[ $ est un recouvrement ouvert de $[0,1]$, dont on extrait un sous-recouvrement fini $W_{1},...,W_{n}$ avec $W_{k}=\left] l_{k}-\varepsilon _{k},l_{k}+\varepsilon _{k}\right[ $.
On a donc $\forall U\in \mathcal{U},\forall k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\exists x_{k}\in U,x_{k}\notin W_{k}$.
Ceci prouve en particulier que $W_{k}\notin \mathcal{U}$
D'après une propriété caractéristique des ultrafiltres, c'est donc que $\lnot W_{k}\in U$, où $\lnot $ désigne le complémentaire.
Mézalor, $\bigcap_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e.
$\lnot \bigcup_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e. $\emptyset \in \mathcal{U}$, ce qui est absurde.
<latex> Je voulais juste préciser que cette question est tout à fait d'actualité, c'est la base de la théorie des groupes moyennables.
Soit $X$ un ensemble. Une mesure de probabilité finiment additive (mpfa) sur $X$ est une application $\mu :\mathcal{P}(X)\rightarrow \left[ 0,1\right] $ telle que $\mu (X)=1$ et $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ si $A\cap B=\emptyset $.
Une mpfa sur un groupe dénombrable $\Gamma $ est dite invariante à gauche si
$\forall \gamma \in \Gamma \forall A\subseteq \Gamma ,\mu (\gamma A)=\mu (A)$.
Un exemple de groupe moyennable est $\Z$.
En effet, si $\mathcal{U}$ est un ultrafiltre non principal sur $\N$, alors
$\mu (A)=\lim_{\mathcal{U}}\frac{\left| A\cap \left\{ -n,...,n\right\} \right| }{2n+1}$ définit une mpfa sur $\Gamma$.
<latex> J'ai évidemment oublié de dire qu'un groupe dénombrable $\Gamma$ est moyennable s'il admet une mpfa invariante à gauche.
Référence :
Kechris-Miller : Topics in Orbit Equivalence Theory, disponible quelque part sur la page web d'Alexander S. Kechris
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
avatar
<latex> Salut,

si ça intéresse qqun j'ai mon mémoire de maîtrise sur les groupes moyennables,
en gros les groupes que l'on aime bien sont moyennables sauf $\mathcal L(x,y)$ et les groupes admettant celui-ci comme sous-groupe, en particulier $SO(3,\R)$ n'est pas moyennable,

(pfiou c vieux tout ça, aïe le neurone)

cordialement,

F.D.
Re: Probabilité additive et non sigma-additive
il y a neuf années
avatar
Un détail : tout groupe abélien est moyennable, la preuve n'est pas dure, mais il faudrait vraiment que je retrouve ce mémoire,

F.D.
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