Probabilité additive et non sigma-additive
Bonjour,
existe-t-il une probabilité sur P(N) qui soit seulement additive et non sigma-additive ?
Daniel SAADA
existe-t-il une probabilité sur P(N) qui soit seulement additive et non sigma-additive ?
Daniel SAADA
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une probabilité est en particulier une mesure, donc sigma-additive par définition. Ou alors ta définition de sigma-additivité diffère de la mienne ...
@+
qu'est une "probabilité" alors ?
Si c'est bien ça, on peut facilement donner des exemples:
par ex, considère $\mu(A)= \liminf \frac{|A\cap[0,n]|}{n+1}$.
$\mu(\N)=1$, $\mu$ est finiment additive, mais ne peut pas être $\sigma$-additive (la mesure d'un singleton est nulle!).
Prends $A$ et $B$ construites telles que $A \cup B = \N$, $A \cap B =\emptyset$~ par un procédé du genre~:
On met un gros paquet d'éléments succesifs dans $A$, de manière à rendre la densité de $B$ faible. Puis un gros paquet d'éléments succesifs dans $B$, de manière à rendre la densité de $A$ faible. Puis un encore plus gros paquet d'éléments succesifs dans $A$, de manière à rendre la densité de $B$ encore plus faible, etc...
On peut faire en sorte que $\mu(A) = \mu(B) = 0$ mais $\mu(A \cup = 1$.
VK
Pourriez-vous expliciter A et B ?
D.S.
Alors considère la limite de la même quantité suivant un ultrafiltre (j'ai remplacé ça au dernier moment par une limite inf, pour simplifier.. mal m'en a pris!).
Ca doit mieux marcher normalement! (et d'ailleurs, il me semble me rappeler maintenant qu'il ya besoin d'utiliser l'hypothèse du continu pour faire une telle sous-mesure qui soit universellement mesurable... d'où le fait qu'on ne puisse pas vraiment en "construire" une).
"ultrafiltre", qu'est-ce donc ?
un filtre, c'est une partie non-vide $F$ de $ P(\N)$ qui est stable par intersection finie, passage aux sur-ensembles ($A \in F, B \supset A \Rightarrow B \in F $, et ne contient pas $\emptyset$.
Un ultrafiltre, c'est un filtre maximal pour l'inclusion; un exemple est donné par $\{A \subset \N \colon: n_0 \in A\}$, où $n_0 \in \N$; un tel ultrafiltre est dit \textit{principal}, et l'existence d'ultrafiltres non principaux dépend de l'axiome du choix.
C'est d'ailleurs d'un ultrafiltre non principal que j'ai besoin pour faire tourner la preuve ci-dessus (sinon, la limite est simplement le Dirac au point $n_0$); pour cela, il faut définir la notion de limite suivant un filtre d'une suite (ce que j'ai la flemme de faire là, maintenant, je l'avoue, peut-être que quelqu'un se dévouera, sinon j'y reviendrai).
Ensuite, il est assez facile de voir que, si $U$ est un ultrafiltre et $u_n$ une suite bornée de réels, alors la limite de $u_n$ suivant $U$ existe (c'est dû à la compacité des intervalles fermés bornés de $\R$) , et a les "bonnes" propriétés. C'est en fait une façon de construire des éléments du dual de $l^{\infty}$ qui ne sont pas dans $l^1$.
Voilà, je n'ai pas le courage de développer plus pour le moment, tu trouveras ça expliqué très clairement dans le Cours d'Analyse de Laurent Schwartz, entre autres.
J'essaierai d'y revenir ce week-end si quelqu'un ne l'a pas fait avant...
Mettre par exemple le premier entier, c'est-à-dire $0$ dans $A$, puis les $2=2\times 1$ entiers suivants dans $B$, puis les $9= 3\times (1+2)$ suivants dans $A$, puis $48=4\times (1+2+9)$ entiers dans $B$, puis les $300=5 \times (1+2+9+48)$ prochains dans $A$, etc...
VK
une question connexe :
existe-t-il une probabilté $\mu$ sur $\N$ telle que pour tout entier $d$, $\mu(d\N)=\frac{1}{d}$?
cordialement,
F.D.
genre : F,U etc.
Car j'ai besoin d'écrire que l'ensemble F appartient au filtre F etc., et je crains que ça devienne vite relou...
Bonjour.
Je vais essayer de compléter un peu la réponse de Toposurloser.
J'utilise la notation fonctionnelle pour les suites, car c'est plus facile ici.
Soit donc $f$ une suite à valeurs dans $[0,1]$, c'est-à-dire une application de $\N$ dans $[0,1]$, et soit $l\in \left[ 0,1\right] $.
Soit par ailleurs $\mathcal{F}$ un filtre sur $\N$.
On dit que la limite de $f$ suivant le filtre $\mathcal{F}$ est égale à $l$ ssi
$\forall \varepsilon >0\exists F\in \mathcal{F},\forall x\in F,\left| f(x)-l\right| 0,\forall U\in \mathcal{U},\exists x\in U,\left| f(x)-l\right| \geq \varepsilon $
La famille des $\left] l-\varepsilon ,l+\varepsilon \right[ $ est un recouvrement ouvert de $[0,1], dont on extrait un sous-recouvrement fini $W_{1},...,W_{n}$ avec $W_{k}=\left] l_{k}-\varepsilon _{k},l_{k}+\varepsilon _{k}\right[ $.
On a donc $\forall U\in \mathcal{U},\forall k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\exists x_{k}\in U,x_{k}\notin W_{k}$.
Ceci prouve en particulier que $W_{k}\notin \mathcal{U}$
D'après une propriété caractéristique des ultrafiltres, c'est donc que $\lnot W_{k}\in U$, où $\lnot $ désigne le complémentaire.
Mézalor, $\bigcap_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e.
$\lnot \bigcup_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e. $\emptyset \in \mathcal{U}, ce qui est absurde.$
Bonjour.
Je vais essayer de compléter un peu la réponse de Toposurloser.
J'utilise la notation fonctionnelle pour les suites, car c'est plus facile ici.
Soit donc $f$ une suite à valeurs dans $[0,1]$, c'est-à-dire une application de $\N$ dans $[0,1]$, et soit $l\in \left[ 0,1\right] $.
Soit par ailleurs $\mathcal{F}$ un filtre sur $\N$.
On dit que la limite de $f$ suivant le filtre $\mathcal{F}$ est égale à $l$ ssi
$\forall \varepsilon >0\exists F\in \mathcal{F},\forall x\in F,\left| f(x)-l\right| 0,\forall U\in \mathcal{U},\exists x\in U,\left| f(x)-l\right| \geq \varepsilon $
La famille des $\left] l-\varepsilon ,l+\varepsilon \right[ $ est un recouvrement ouvert de $[0,1], dont on extrait un sous-recouvrement fini $W_{1},...,W_{n}$ avec $W_{k}=\left] l_{k}-\varepsilon _{k},l_{k}+\varepsilon _{k}\right[ $.
On a donc $\forall U\in \mathcal{U},\forall k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\exists x_{k}\in U,x_{k}\notin W_{k}$.
Ceci prouve en particulier que $W_{k}\notin \mathcal{U}$
D'après une propriété caractéristique des ultrafiltres, c'est donc que $\lnot W_{k}\in U$, où $\lnot $ désigne le complémentaire.
Mézalor, $\bigcap_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e.
$\lnot \bigcup_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e. $\emptyset \in \mathcal{U}$, ce qui est absurde.
Bonjour.
Je vais essayer de compléter un peu la réponse de Toposurloser.
J'utilise la notation fonctionnelle pour les suites, car c'est plus facile ici.
Soit donc $f$ une suite à valeurs dans $[0,1]$, c'est-à-dire une application de $\N$ dans $[0,1]$, et soit $l\in \left[ 0,1\right] $.
Soit par ailleurs $\mathcal{F}$ un filtre sur $\N$.
On dit que la limite de $f$ suivant le filtre $\mathcal{F}$ est égale à $l$ ssi
$\forall \varepsilon >0\exists F\in \mathcal{F},\forall x\in F,\left| f(x)-l\right| 0,\forall U\in \mathcal{U},\exists x\in U,\left| f(x)-l\right| \geq \varepsilon $
La famille des $\left] l-\varepsilon ,l+\varepsilon \right[ $ est un recouvrement ouvert de $[0,1]$, dont on extrait un sous-recouvrement fini $W_{1},...,W_{n}$ avec $W_{k}=\left] l_{k}-\varepsilon _{k},l_{k}+\varepsilon _{k}\right[ $.
On a donc $\forall U\in \mathcal{U},\forall k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\exists x_{k}\in U,x_{k}\notin W_{k}$.
Ceci prouve en particulier que $W_{k}\notin \mathcal{U}$
D'après une propriété caractéristique des ultrafiltres, c'est donc que $\lnot W_{k}\in U$, où $\lnot $ désigne le complémentaire.
Mézalor, $\bigcap_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e.
$\lnot \bigcup_{k=1}^{n}W_{k}\in \mathcal{U}$, i.e. $\emptyset \in \mathcal{U}$, ce qui est absurde.
Soit $X$ un ensemble. Une mesure de probabilité finiment additive (mpfa) sur $X$ est une application $\mu :\mathcal{P}(X)\rightarrow \left[ 0,1\right] $ telle que $\mu (X)=1$ et $\mu (A\cup =\mu (A)+\mu (B)$ si $A\cap B=\emptyset $.
Une mpfa sur un groupe dénombrable $\Gamma $ est dite invariante à gauche si
$\forall \gamma \in \Gamma \forall A\subseteq \Gamma ,\mu (\gamma A)=\mu (A)$.
Un exemple de groupe moyennable est $\Z$.
En effet, si $\mathcal{U}$ est un ultrafiltre non principal sur $\N$, alors
$\mu (A)=\lim_{\mathcal{U}}\frac{\left| A\cap \left\{ -n,...,n\right\} \right| }{2n+1}$ définit une mpfa sur $\Gamma$.
Référence :
Kechris-Miller : Topics in Orbit Equivalence Theory, disponible quelque part sur la page web d'Alexander S. Kechris
si ça intéresse qqun j'ai mon mémoire de maîtrise sur les groupes moyennables,
en gros les groupes que l'on aime bien sont moyennables sauf $\mathcal L(x,y)$ et les groupes admettant celui-ci comme sous-groupe, en particulier $SO(3,\R)$ n'est pas moyennable,
(pfiou c vieux tout ça, aïe le neurone)
cordialement,
F.D.
F.D.
Amicalement,
soit E l'espace vectoriel des suites bornées et
soit F le sev des suites convergentes. Alors,
1) toute u de E est majorée par une v de F
2) sur F, v donne lim(v) est une forme linéaire positive.
Il en résulte qu'il existe sur E une forme linéaire positive, notée LIM,
qui prolonge lim.
Source : Bourbaki, EVT, chapitre 2, paragraphe 3, la démonstration
utilisant le théorème de Zorn.
Pour A dans N, on pose m(A) = LIM [ cardinal de A inter (0,n)/(n+1)] :
c'est une fonction d'ensemble positive de masse 1;
comme LIM est linéaire, m est additive;
comme les singletons sont de mesure nulle, m ne peut être
sigma-additive.
Merci à tous pour la qualité des réponses.
Daniel Saada