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Calcul de volumes

Envoyé par Yersinia pestis 
Calcul de volumes
il y a neuf années
Bonjour,

en faisant un exo de physique j'ai eu à calculer le volume d'un cône. Je l'ai fait en utilisant des bases de calcul intégral.

Je me suis alors posé la question : les Grecs ne connaissant pas le calcul intégral, connaissaient-ils la formule donnant le volume d'un cône? Si oui (ce qui est à peu près certain) comment l'ont-ils obtenue? Empiriquement ou bien par la géométrie?
En conclusion : existe-t-il un moyen purement géométrique de calculer le volume d'un cône?

Rem : réflexion idem pour une sphère.

Qu'en pensez-vous?


Emmanuel
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
bonjour

les Grecs connaissaient les volumes des solides les plus courants (cylindre, pyramide, cube, parallélépipède) et ils connaissaient le calcul intégral ou tout au moins les aires des surfaces les plus élémentaires (rectangles, trapèzes, triangle, cercle) qui rentraient dans l'assiette fiscale des propriétés foncières (cadastre)

leur démarche était souvent empirique (en particulier chez Archimède)

il n'existe pas à ma connaissance de méthodes géométriques pour calculer le volume d'un cône ou d'une sphère;

les Grecs connaissaient le volume d'une pyramide et d'un cylindre, il est probable qu'ils en ont déduit le volume d'un cône
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
Bonjour,

revoir la formule de Simpson donnant une valeur approchée d'une integrale.

en déduire la formule dite des "3 niveaux" qui donne une valeur exacte pour , entre autres sphere, cylindre, cone..

V=h( S1 + 4S' +S2)/6

avec volume de hauteur h limité par deux plans horizontaux
S1 et S2 aires des des deux bords superieur et inferieur et S' aire de la section intermédiaire par un plan à "gale distance des deux bords..)
( formule aussi dite du tas de sable , apprise , il y a longtemps , mais oui!, par les apprentis maçons)

pour une sphere de rayon R : V=(2R6)(0+4Pi.R²/4 +0) =(4/3)PiR³
pour un cone de hauteur h et de base S : V= h/6.(S+4S/4 +0)= hS/3

Oump.
Merci bcp Jean, tu réponds parfaitement à ma question.

Emmanuel
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
Jean, avec tout le respect que je te dois, que viennent faire l'empirisme et les problèmes de cadastre dans l'oeuvre d'Archimède ???
De cet homme, dix ouvrages nous sont parvenus. Dans le sixième intitulé "La sphère et le cylindre", on y trouve les formules du volume et de la surface d'une pyramide, d'un cylindre, d'un cône, et d'une sphère. Dans le septième, "Des conoïdes et des Sphéroïdes", on y étudie les volumes engendrés par la révolution des sections coniques autour de leurs axes.
Déjà Eudoxe connaissait le volume du cône par la méthode d'exhaustion, reprise par Archimède. Le problème du cône est d'ailleurs un jeu d'enfant relativement à la sphère. Mais rien de tout ça n'a résisté à la sagacité de notre génie.
Je ne vois pas pourquoi tu parles "d'empirisme" pour Archimède.

Amicalement

Rudy
jmb
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
<latex> Bonsoir,

Je ne sais pas si cela à un lien avec la méthode d'exhaustion dont parle Rudy, mais si on connaît le volume d'un cylindre, on peut on déduire celui du cône comme limite-sup (resp. inf) en $n$ du volume de la réunion des $n$ cylindres de même hauteurs contenus dans (resp. contenant) le cône.

Cordialement,
J.-M. B.
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
Bien vu jmb. Mais vu qu'Archimède avait déjà montré que la surface d'un cercle peut se ramener à la surface d'un triangle rectangle ayant comme hauteur le rayon du cercle et comme base son périmètre (d'où la formule
S=piR2), dès lors, chacun de tes cylindres plats peut devenir un prisme plat et du coup notre cône devient une pyramide a base triangulaire (rectangle). Le reste n'est plus qu'un rapport de volumes entre cette pyramide et le prisme qui la contient...

A+

Rudy
Re: Calcul de volumes
il y a neuf années
bonjour Rudy

les chercheurs grecs à la suite des Egyptiens se sont mis au calcul d'aires souvent à la demande des autorités pour calculer la surface des champs, propriété des contribuables qui payaient un impôt en relation avec l'importance de leur patrimoine (d'où l'allusion au cadastre)

Archimède à ma connaissance vérifiait les résultats d'aires et de volumes obtenus avec les méthodes que tu signales tout simplement avec des pavés (pour les surfaces) ou des liquides (pour les volumes)

en ce sens l'empirisme existait chez Archimède qui par ailleurs expérimenta (en 217 avant JC) le pouvoir des miroirs réfléchissants sur les navires et les légions romaines du consul Marcellus qui assiégeaient Syracuse (Sicile) où résidait le savant grec pendant la seconde guerre punique

amitiés
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