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espaces euclidiens :(

Envoyé par Lili 
Lili
espaces euclidiens :(
il y a treize années
Bonjour,

J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cette question:
M est dans Mn(IR) de rang r.Je dois montrer qu'il existe 2 matrices E et P orthogonales et une matrice diagonale D à termes positifs tq:A=EDP.
J'ai essayé de supposer qu'elles existaient pour les trouver explicitement mais j'aboutis à rien.
Est-ce que qqn aurait une idée.
Merci beaucoup.
Re: espaces euclidiens :(
il y a treize années
avatar
<latex> Salut,

c'est une décomposition selon le rang,

puisque $M$ est de rang $r$, son image est de dimension $r$, on peut donc restreindre, sans rien changer, $M$ à $Ker(M)^*$
(j'utilise * pour "orthogonal" parce que j'ai pas envie de fouiller mon manuel de LaTeX smiling smiley )

bon, $M^*$ est la matrice d'une forme quadraitque, on la diagonalise dans une base, on obtient deux matrices $r\times r$ $E^*$ et $P^*$, qui sont dans $O(r,\Cb R)$,

puis un raisonnement simple montre que pour la partie $M^K$ (c'est-à-dire la restriction de $M$ à son noyau) on peut prendre $O_{n-r}$, on a à nouveau deux matrices de passages (orthogonales car l'espace est un brin euclidien, sinon c'est moins simple) $E^K$, $P^K$,

en recollant les blocs, on fait un calcul immédiat et on a la décomposition souhaitée,


j'espère ne pas avoir dit trop d'horreurs (!), je vais donc résumer l'idée:

les matrices $E$ et $P$ sont construites à l'aide de matrices de passage entre deux bases euclidiennes de la partie non-dégénérée de $M$ et pour la partie dégénérée, c'est pas vraiment un problème, non?

bon courage,

cordialement,

F.D.
Lili
Re: espaces euclidiens :(
il y a treize années
oui y a juste un truc que j'ai pas compris:quand on diagonalise la matrice de la forme quadratique, pourquoi E* et P* sont-elles orthogonales?
Merci beaucoup pour le reste.
A +
Re: espaces euclidiens :(
il y a treize années
avatar
<latex> Salut,

une définition d'une matrice orthogonale est que c'ets la matrice de passage d'une base orthogonale à une autre,

avec la définition $M^t*M=Id$, il suffit de calculer le déterminant de $M$, il vaut $\pm 1$,

donc (!) l'image par $M$ d'une B.O.N. est une B.O.N.

j'en reste là pour ce soir, je suis un peu fatigué,

cordialement,

F.D.
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