espaces euclidiens :(

Réponses

• FrançoisD

  March 2005

  Salut,
  
  c'est une décomposition selon le rang,
  
  puisque $M$ est de rang $r$, son image est de dimension $r$, on peut donc restreindre, sans rien changer, $M$ à $Ker(M)^*$
  (j'utilise * pour "orthogonal" parce que j'ai pas envie de fouiller mon manuel de LaTeX :-) )
  
  bon, $M^*$ est la matrice d'une forme quadraitque, on la diagonalise dans une base, on obtient deux matrices $r\times r$ $E^*$ et $P^*$, qui sont dans $O(r,\Cb R)$,
  
  puis un raisonnement simple montre que pour la partie $M^K$ (c'est-à-dire la restriction de $M$ à son noyau) on peut prendre $O_{n-r}$, on a à nouveau deux matrices de passages (orthogonales car l'espace est un brin euclidien, sinon c'est moins simple) $E^K$, $P^K$,
  
  en recollant les blocs, on fait un calcul immédiat et on a la décomposition souhaitée,
  
  
  j'espère ne pas avoir dit trop d'horreurs (!), je vais donc résumer l'idée:
  
  les matrices $E$ et $P$ sont construites à l'aide de matrices de passage entre deux bases euclidiennes de la partie non-dégénérée de $M$ et pour la partie dégénérée, c'est pas vraiment un problème, non?
  
  bon courage,
  
  cordialement,
  
  F.D.
• Lili4

  March 2005

  oui y a juste un truc que j'ai pas compris:quand on diagonalise la matrice de la forme quadratique, pourquoi E* et P* sont-elles orthogonales?
  Merci beaucoup pour le reste.
  A +
• FrançoisD

  March 2005

  Salut,
  
  une définition d'une matrice orthogonale est que c'ets la matrice de passage d'une base orthogonale à une autre,
  
  avec la définition $M^t*M=Id$, il suffit de calculer le déterminant de $M$, il vaut $\pm 1$,
  
  donc (!) l'image par $M$ d'une B.O.N. est une B.O.N.
  
  j'en reste là pour ce soir, je suis un peu fatigué,
  
  cordialement,
  
  F.D.