Norme infinie

Robbie · March 2005

Bonsoir à tous

Dans le cadre de l'étude d'un système linéaire d’équations, je suis amené à trouver une matrice $B\in M(n,\R) $ telle que $ \det(B)=0 $ et qui satisfasse la propriété suivante :
$\vert \vert A-B\vert \vert_{\infty} \leq \min_{0\leq i \leq n}\vert a_{ii}\vert, $ où $ A=(a_{ij})\in M(n,\R)$ est inversible.
Auriez-vous une idée pour la matrice $B$ ?

Merci par avance.
Robbie.

Robbie · March 2005

la propriété est : $\vert \vert A-B \vert \vert_{\infty} = min_{0\leq i \leq n} \vert a_{ii} \vert $.

Robbie · March 2005

decidément j'ai vraiment un problème avec le latex: la propriété est :
$ \vert \vert A-B \vert \vert_{\infty} \leq min_{0 \leq i \leq n} \vert a_{ii} \vert $
en esperant que cette fois-ci soit la bonne.

Pitou1 · March 2005

Ca dépend ce que tu appelles $||M||_{\infty}$ ; est-ce que c'est c'est le max des coefficients ou est-ce que c'est la norme matricielle subordonnée à la norme infini sur $\R^n$ (si je me souviens bien, le max des normes 1 de chaque ligne) ?

Reï-Vi-Lhô · March 2005

Bonsoir,

Je ne crois pas que cela soit toujours possible. En effet, si on considère une matrice $A$ inversible dont l'un des coefficients diagonaux est nul, alors il n'existe pas une telle matrice $B$. Sinon, la condition $||A-B||_{\infty}\leq min_{1\leq i\leq n}|a_{i,i}|$ entraînerait $B=A$. Mais alors, $det(B)\neq 0$ : absurde !

Ou peut-être ai-je mal compris ta question ?

Amicalement.
Olivier.

Pitou1 · March 2005

Exact !

Philippe Malot · March 2005

On peut peut-être se poser la question de savoir si c'est possible dans le cas où $min_{1\leq i\leq n}a_i$ est différent de $0$.

Philippe Malot · March 2005

$min_{1\leq i\leq n} a_{ii}$

Philippe Malot · March 2005

$min_{1\leq i\leq n}|a_{ii}|$

Robbie · March 2005

Je permet de rajouter une hypothèse supplementaire: je suppose $A$ triangulaire supérieure.
Mais je ne suis pas sur que celà simplifie le problème....

Pitou1 · March 2005

Arrête-moi si je me trompe mais dans ce cas l'exo est assez simple : on choisit $i_0$ tel que $|a_{i_0 i_0}|=\min |a_{ii}| > 0$, et on définit $B$ comme étant la matrice dont tous les coefficients sont égaux à ceux de $A$ sauf le coefficient en $(i_0,i_0)$ qui est nul. De sorte que $det B = 0$ et et $\lVert A-B \rVert_{\infty} = |a_{i_0 i_0}|$ quelle que soit la norme infinie que tu prends (vectorielle ou matricielle). Non ?

gold0 · May 2012

Je voudrais connaitre la démonstration des 3 propriétés d'une norme sur la norme infinie

Miskha · May 2012

quel norme infinie ? et sur quel espace ?

dans tous les cas la démonstration est banale , le cas qui pourrait présenter une légère difficulté c'est celui de l'inégalité triangulaire, mais il suffit de faire des passages au SUP progressifs

Norme infinie

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 25