proba

Bonjour,
Pour koniev

D'accord pour la réponse à la question a)


Pour la question b), la situation me paraît plus compliquée car il faut recenser les tirages ayant un 8 au quatrième coup, en tenant compte du tirage possible d'un 8 avant le quatrième coup.

En désignant par x le tirage d'un 1, d'un 3 ou d'un 9, les configurations paires sont les tirages xxx8, 8xx8, x8x8 et xx88 dont les probabilités sont
Pr(xxx8) = (18/20)(17/19)(16/18)(2/17)
Pr(8xx8) = (2/20)(18/19)(17/18)(1/17)
Pr(x8x8) = (18/20)(2/19)(17/18)(1/17)
Pr(xx88) = (18/20)(17/19)(2/18)(1/17)

Donc Pr(le nombre tiré est pair) = 18*17*2*(16 + 1 + 1 + 1)/(20*19*18*17) = 2/20 = 0.1

Je trouve bien le même résultat que koniev mais je ne comprend pas le raisonnement qu'il a suivi.

Bonjour,

la probabilité que le quatrième jeton soit un 8 (équiv. soit pair) n'est ni plus ni moins le nbe de cas favorables divisé par le nbe de cas équiprobables possibles, soit 2/20.

Salut Koniev,
quand tu dis : "Le nb de cas YYYY est 20!/5!6!7!2!",
je crois que tu confonds avec le nombre de permutations avec répétition, autrement dit le dénombrement des :
99999883333331111111,
91113198191199833333,
etc. !

Cher GG
Pourquoi le nb de cas XXXX n'est-il pas celui des permutations ?
Merci
K

Pour la question b, je ferais autrement.
On a 2 cas possibles :
Soit dans les 3 premiers tirages, on n'a pris aucun des 2 chiffres 8 : nombre de possibilités $C_{18}^{3}\times 2$ (on prend 3 boules au hasard parmi les 18 autres puis 2 possibilités de prendre le 8).
Soit on a pris 1 chiffre 8 : soit $C_{18}^{2}\times 2\times 1$ (2 boules au hasard parmi 18 puis 2 possibilités pour le premier 8 et 1 pour le second)

Nombre total de tirages : $C_{20}^{4}$

Probabilité voulue : $$p=2\times \frac{C_{18}^{3}+C_{18}^{2}}{C_{20}^{4}}=2\times \frac{4\times 16+4\times 3}{19\times 20}=\frac{2}{5}$$

Le problème c'est que je ne trouve pas la même chose que les autres...
Aurais-je fait une bourde ?

Bonjour,

pour Bisam : $C_{20}^3$ et $C_{18}^3$ correspondent à des tirages \emph{non ordonnés} ; on peut, même si l'énoncé présente les choses autrement, travailler avec un univers non ordonné ; mais il risque d'être plus long d'expliquer pourquoi on peut que de travailler directement avec l'univers de départ, non ordonné.

Surtout, on ne peut pas changer d'univers en cours de calcul. Or, si les tirages ne sont pas ordonnés, cela n'a pas de sens de considérer les trois premiers tirages et le dernier !

Dés lors, le faire en ordonné est extrêmement problématique. Mieux vaut se conformer à l'énoncé, et faire ce même raisonnement en ordonné :
Soit dans les 3 premiers tirages, on n'a pris aucun des 2 chiffres 8 : nombre de possibilités $A_{18}^{3}\times 2$ (on prend 3 boules au hasard parmi les 18 autres puis 2 possibilités de prendre le 8).
Soit on a pris 1 chiffre 8 : soit $3 \times 2 \times A_{18}^{2}\times 1$ (3 places possibles pour le premier 8, 2 possiblités de tirer ce premier 8, 2 boules au hasard parmi 18 puis 1 possibilité pour le dernier 8) .

Nombre total de tirages : $A_{20}^{4}$

Probabilité voulue : $p=2\times \dfrac{A_{18}^{3} \,+\, 3 \times A_{18}^{2}}{A_{20}^{4}} = 2 \times \dfrac{16 + 3}{19 \times 20} = \dfrac{2}{20}$.


Pour muaddob : je suis d'accord avec ton raisonnement, mais ai un peu de mal à trouver une phrase en français qui le rende irréfutable.


Daniel

OK, j'ai compris ma boulette... et je confirme que mon calcul est archifaux.