division dans Z[X]
dans Les-mathématiques
Bonjour
Un truc tout bête mais je coince:
soit $Q=PR$ avec $Q\in \Z[X]$ $P,R\in \Q[X]$. Tous les polynomes sont unitaires.
On veut montrer que nécessairement $P,R\in \Z[X]$.
Je commence par multiplier P par le ppcm m des dénominateurs de ces coefficients. J'obtiens Q=mP R/m de sorte que l'on a $Q,mP\in \Z[X]$.
Supposons que R/m ne soit pas à coefficient entiers. Comment montrer une contradiction?
Un truc tout bête mais je coince:
soit $Q=PR$ avec $Q\in \Z[X]$ $P,R\in \Q[X]$. Tous les polynomes sont unitaires.
On veut montrer que nécessairement $P,R\in \Z[X]$.
Je commence par multiplier P par le ppcm m des dénominateurs de ces coefficients. J'obtiens Q=mP R/m de sorte que l'on a $Q,mP\in \Z[X]$.
Supposons que R/m ne soit pas à coefficient entiers. Comment montrer une contradiction?
Réponses
-
Bonjour,
j'essaierai plutôt une récurrence sur le degré du polynôme et en exhibant les coeff de Q en fonction de ceux de P et R.
Jérémy -
<!--latex-->Le post <BR>
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=108207&t=108204#reply_108207"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=108207&t=108204#reply_108207</a>
<BR>a peut-être un certain intérêt pour ton problème.
<BR>
<BR>Trivecteur<BR><BR><BR> -
Voici la preuve de X.C. trouvée sur le newsgroup fr.sci.maths (Date: 21 Apr 2002):\\
Soit donc $P=ST$ unitaire à coefficients entiers réductible
sur $\Q$, de sorte que $S$ et $T$ soient de polynômes à coefficients rationnels
de degré >1 que l'on peut supposer unitaires. Je vais alors en fait
montrer que $S$ et $T$ sont forcément à coefficients entiers. On commence
partout multiplier par les dénominateurs communs pour avoir une égalité
du type:
$$aP = UV$$
où a est un entier et U et V sont des polynômes à coefficients entiers
tels que le Pgcd de tous leurs coefficients soit 1 (ceci est bien
possible car on a supposé les polynômes unitaires). Ecrivons:
$$U = a_s X^s + ... + a_0$$
$$V = b_t X^t + ... + b_0$$
Soit p un nombre premier, notons $s_0$ le plus grand indice tel que p
ne divise pas $a_{s_0}$. Il existe bien car sinon le Pgcd des coeffi-
cients de U ne serait pas 1. De même notons $t_0$ le plus grand indice
tel que p ne divise pas $b_{t_0}$. En effectuant la multiplication, on
voit directement que p ne divise pas le coefficient de degré $s_0+t_0$
dans le produit $UV$. Ainsi p ne divise pas a, mais cela est vrai pour
tout nombre premier p. Donc $a=1$ et S et T étaient bien à coefficients
entiers.\\ -
Bonsoir,
Cette démonstration me parait bien allèchante, mais je n'arrive pas à la comprendre.
Je coince sur le "Ainsi" vers la fin. Je ne vois pas pourquoi $p$ ne diviserait pas $a$, dans le produit $UV$ les termes de degré $>s_0 + t_0$ sont divisibles par $p$, celui de degré $>s_0 + t_0$ ne l'est pas, mais qu'en est-il des autres, et de leur somme ?
Si une bonne âme voulait éclairer ma lanterne....
Merci. -
Par définition de $s_0$ et $t_0$, le coefficient de degré $s_0+t_0$ de $UV$ n'est pas multiple de $p$. Mais comme $UV=aP$, ce même coefficient est multiple de $a$. Donc ...\\
Trivecteur -
Merci. Je pense avoir compris, et c'est une belle démo!
-
Soit $P\in\Q[X]$ unitaires.
$P=\frac{P_1}{u}$ où $u\in\N^*$ et $P_1\in\Z[X]$
$u\,P=P_1$
$P$ unitaire donc le coefficient dominant de $P_1$ est $u$ d'où $\hbox{c}(P_1)\mid u$ (1).
$\hbox{c}(P_1)$ désigne {\bf le contenu} de $P_1$, c-à-d le pgcd de ses coefficients.
Soit $Q\in\Q[X]$ unitaire.
$Q=\frac{Q_1}{v}$ où $v\in\N^*$ et $Q_1\in\Z[X]$
$v\,Q=Q_1$
$Q$ unitaire donc le coefficient dominant de $Q_1$ est $v$ d'où $\hbox{c}(Q_1)\mid v$ (2).
Soit $A\in\Z[X]$ tel que $A=P\,Q$.
On a $u\,v\,A=P_1\,Q_1$.
D'où en prenant les contenus (sur $\Z$)
$uv=\hbox{c}(P_1)\,\hbox{c}(Q_1)$ (3)
(1),(2), (3) entraînent $\hbox{c}(P_1)=u$ et $\hbox{c}(Q_1)=v$.
$u$ divise donc tous les coefficients de $P_1$. Par suite $P\in\Z[X]$.
$v$ divise donc tous les coefficients de $Q_1$. Par suite $Q\in\Z[X]$. -
OK Archimède mais le point esssentiel de ta preuve est que le contenu du produit est le produit des contenus.
Trivecteur -
Mais ça c'est du cours de licence.
-
Je n'ai pas dit que cette solution ne présentait pas d'intérêt. Mais l'énoncé est niveau premier cycle donc a priori on cherche une solution à ce niveau.
vvv -
Bien sûr, ma preuve utilise le fait que pour $P,Q\in\Z[X]$ on a $\hbox{c}(P\,Q)=\hbox{c}(P)\,\hbox{c}(Q)$, relation qui résulte du {\bf lemme de Gauss} : le produit de 2 polynômes $P,Q\in\Z[X]$ primitifs est un polynôme primitif.
Quant au niveau auquel on se place, chacun a le choix... -
Bonjour,
je ne vois pas comment (1),(2), (3) entraînent .... -
D'habitude, (1),(2), (3) entraînent (j'irai dans les bois)
mais chacun fait ce qu'il veut.
e.v.
surtout à cette heure.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
J’en connaissais une version plus salée.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
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Bonjour!
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