Matrice de Jacobi

C'est nouveau ça on fait du calcul diff et des intégrales doubles en terminale, non mais ça va pas, faut arrêter la fumette :-)

Bonjour, je suis en terminale S et je voudrai savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer qu'est-ce que la matrice de jacobi et son déterminant ainsi que ce qu'est et la manière d'utiliser la règle de substitution en 2d avec les coordonnées polaires ?
Ce serait pour résoudre une intégrale du type :
$$x,y\in\R,\quad\int_{0}^{+5}e^{-x^2-y^2}\,dxdy$$
Merci d'avance !

Si Lyon est pas champion ! Moi j'habite plus a Coucouron !

Jeff

Ouh là mais il y aurait beaucoup à expliquer. Enfin pour être simple si $f$ est une fonction de $D \subset \R^2$ vers $\R^2$, $f(x,y)$ est une expression à deux variables, et $f=(f_1,f_2)$ c'est-à-dire que chaque valeur de $f$ a deux "coordonnées".

On peut dériver les expressions $f_1(x,y)$ et $f_2(x,y)$, soit par rapport à $x$, soit par rapport à $y$. On appelle ça les "dérivées partielles", parce qu'on dérive par rapport à une des variables. Par exemple on note $\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x}$ la dérivée de $f_1$ par rapport à $x$.

Comme il y a 2 fonctions, et qu'on peut dériver par rapport à une des 2 variables, on obtient 2*2=4 dérivées partielles, qu'on met en tableau pour obtenir la matrice de Jacobi. Donc la matrice est de la forme :
$$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial} & \frac{\partial f_2}{\partial} \\ \frac{\partial f_1}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}$$

Son déterminant se calcule comme pour toute les matrices 2-2 :
$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad-bc$$
Evidémment les coefficients de la matrice, et donc le déterminant, sont des fonctions de $x$ et $y$. Par exemple pour $f(x,y)=(x^2-y^2,xy+e^{x+2y})$, la matrice jacobienne est :
$$\begin{pmatrix} 2x & y + e^{x+2y} \\ 2y & x + 2e^{x+2y} \end{pmatrix}$$
Et son déterminant est $J(x)=2(2x-y)e^{x+2y} + 2 (x^2 - y^2)$ sauf erreur de calcul fort probables.

Pour le changement de variable en polaires on utilise $f(r,\theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta)$. Je te laisse calculer les dérivées partielles, puis le déterminant jacobien.

Mais le mieux est de comprendre cette histoire d'intégration "à la physicienne" : $dx \, dy$ représente l'aire d'une petit rectangle de côtés infinitésimaux $dx$ et $dy$ (entre $x$ et $x+dx$, et entre $y$ et $y+dy$). Si l'on se place dans un secteur angulaire situé entre les angles $\theta$ et $\theta+d\theta$ et entre les rayons $r$ et $r+dr$, alors l'aire est donné par $dr \, r d\theta$ car ce petit secteur est très similaire à un rectangle de côtés $dr$ et $r d\theta$ (et non pas $dr$ et $d\theta$).

J'espère que tu vois un peu ce que je veux dire.. mais si en terminale tu ne comprends pas ça, rien d'nquiétant. Au fait dans quel cadre t'intéresses-tu à cette intégrale ?

f va de IR² dans IR² donc a un vecteur (x,y) associe un autre vecteur f((x,y)) dont les deux coordonnées dépendent de (x,y).
ces deux coordonnées sont donc des fonctions de x et y que l'on note respectivement f1 et f2.
ainsi f((x,y)) se note (f1(x,y),f2(x,y)).

Hello Greensmile,

Tu as raison de me rappeler à l'ordre, j'ai écrit la matrice des $\partial f_j / \partial x_i$ au lieu des $\partial f_i / \partial x_j$, mais heureusement ça ne change au rien au déterminant ;-)

Sinon cette idée de périscope est effectivement très jolie, je ne connaissais pas. On peut ajouter que si on regarde dans ce périscope la "largeur" apparente d'un objet est inversement proportionnelle à sa largeur réelle : d'où le $r d \theta$...

Surtout qu'après six années, s'il est toujours en terminale, il va en avoir besoin de la chance !