matrices semblables et polynôme caractéristique

Seba1 · May 2005

Bonjour,
soient A et B 2 matrices carrés complexes, a-t-on l'équivalence entre : "A et B ont le même polynôme caractéristique" et "A et B sont semblables" ?
Si A et B sont hermitiennes la réponse est oui puisqu'on peut alors les diagonaliser et elles ont les mêmes valeurs propres vu qu'elles ont le même polynôme caractéristique. Mais dans le cas général je n'arrive pas à répondre, en fait j'ai cherché un contre exemple en dimension 2 mais je ne connais pas d'autre obstruction à "A et B sont semblables" que dire que les 2 matrices n'ont pas les mêmes valeurs propres. Merci de votre aide !

Tµtµ · May 2005

Salut,

(10)
(01)
et
(11)
(01)
n'auraient-elles pas le même poly caract ?

ipse · May 2005

Personnellement je dirai que non. Tu prends la matrice identité Id dans Mn(R), elle n'est semblable qu'à elle-même (car si A est semblable à Id d'où il existe P inversible tel que A=P^(-1)*Id*P=Id) et tu considères B=1,1][0,1 dans M2(R) (désolé mais je ne sais pas me servir des options qu'il y a pour taper le matrices) elles ont même polynome caractéristiques (X-1)^2 mais elle ne sont pas semblables.
Par contre maintenant ce qu'on peut se poser comme question c'est : ya-t-il équivalence entre A et B ont même polynome minimal et A et B sont semblables.

geo · May 2005

si deux matrices sont semblables alors elles ont le même polynome caractéristique
la réciproque est fausse en général

pour un contre exemple il suffit de trouver deux matrices ayant même polynome caractéristique mais pas les memes valeurs propres

remarque si les matrices ont le même poly et les mêmes valeurs propres
sont elles semblables??

geo

Menagex0 · May 2005

L'exemple de tµtµ est le bon :

(1 0) & (1 1) ne sont pas semblables... elles ont le mêm polynôme
(0 1) & (0 1) caractéristiques, c'est-à-dire (X-1)² cependant elles ne peuvent être semblables puisque le polynôme minimal de la première est 1-X alors que c'est (X-1)² pour la seconde...

ipse à raison, la première ne peut être par calcul que semblable à elle-même.

Pour le polynôme minimal, c'est une condition necessaire, mais pas suffisante : Il faut que tous les invariants de similitude (dont fait partie le polynôme minimal) soient les mêmes, dans ce cas on aura la même réduite de Jordan, donc on aura caractérisé la classe de similitude...

Seba1 · May 2005

C'est vrai qu'un contre exemple avec la matrice idendité ca marche vraiment trés bien puisqu'on sait que seul Id est semblable a Id.
Géo si 2 matrices ont le meme polynome caracteristiques elles ont les memes valeurs propres non ? Pas forcement avec le meme ordre de multiplicité par contre.
Il reste encore une question, comment trouver une autre obstruction à "A et B sont semblables" que "A et B n'ont pas les memes valeurs propres".

ipse · May 2005

Merci menagex pour ton information sur le polynome caractéristique.
Excuse moi de te contredire Seba, mais je pense que si A et B sont deux matrices qui ont même poly caractéristiques, elles ont même valeurs propres et avec même ordre de multiplicité.
En effet si les valeurs propres de A dans C sont a1<=...<=an(ordre lexico-graphique) et les valeurs propres de B sont b1<=...<=bn (ordre lexico-graphique) alors en les trigonalisant dans C, on obtient que :
poly caractéristique de A = produit (X-ai)
et poly caractéristique de B = produit (X-bi)
qui sont égaux si et seulement si ai=bi pour tout i. Ce qui prouve que A et B ont même valeurs propres avec même multiplicité.
Par contre je ne comprends pas ta dernière question.

Seba1 · May 2005

Par ordre de multiplicité je voulais dire ordre de multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimale, ma phrase est alors juste non ?
Ma derniere question est en fait la suivante : comment montrer que 2 matrices ne sont pas semblables si elles ont les memes valeurs propres ? Dans le contre exemple donné plus haut c'est facile puisque l'une des deux matrices est Id, mais sinon je ne vois pas comment faire.

Menagex0 · May 2005

"Par ordre de multiplicité je voulais dire ordre de multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimale, ma phrase est alors juste non ?" -> oui, tu as raison !

Si elles ont les mêmes valeurs propres, on peut montrer qu'elles ne sont pas semblables en montrant que les valeurs propres n'ont pas les mêmes ordes de multiplicité....

Cependant deux matrices peuvent ne pas être semblables et avoir mêmes vp, mêmes multiplicités, mêmes poly car, même poly min !

Donc pour s'en sortir, la seule solution consiste à réduire la matrice en blocs de Jordan, c'est-à-dire à rechercher les invariants de similitudes...

Tsss1 · May 2005

Si 2 matrices n'ont pas la même trace, déterminant, rang (entre autres) alors elles ne sont pas semblables.
J'espère que c'était ta question ^^.

Menagex0 · May 2005

Et puis dans ce cas pas besoin de calculer les invariants de similitude !!!!

Seba1 · May 2005

En fait la question est tout simplement "trouver une CS pour que A et B soient semblables" (et pas plein de CN héhé)
La reduite de Jordan n'est pas vraiment au programme de spé, je vais voir ce que je trouve sur le sujet.

jp0 · May 2005

cela dépend de ton exercice.....

mais dans le cas général, comme indiqué, il n'y a pas d'autre moyen que de parler des invariants de simiitude.

Pour une référence niveau spé (costaud tout de même) voir l'excellent livre de Xavier Gourdon....

Menagex0 · May 2005

Effectivement Gourdon (livre de spé) parle des invariants, mais dans une annexe, où il est bien précisé que c'est hors-programme !!

imad5 · January 2011

euh pour une condition suffisante de A et B semblable :
A et B diagonalisable et ont le meme polynome caracteristique

john_john · January 2011

Bonjour tout le monde,
pour deux matrices scindées $A$ et $B$ (de même taille $n$), il y a similitude ssi : elles ont même spectre et, pour toute valeur propre $x$, on a l'égalité des rangs\footnote{ Résultat attribué à WEYR par Mneimné dans {\em Réduction des endomorphismes.}} de $(A-xI)^k$ et de $(B-xI)^k$ pour tout $k\le n$.

Pour $n$ un peu grand, c'est plus facile à dire qu'à vérifier !

Cordialement, j__j