differentielle de l'exponentielle

alekk10 · May 2005

bonjour à tous,

je me demandais s'il y avait un moyen simple de calculer la différentielle de l'exponentielle matricielle en un point quelconque de $M_n(C)$ ? Je ne sais meme pas si c'est possible. Quelqu'un connaitrait t il la réponse ?

merci.

Pitou · May 2005

Oui c'est (presque) l'exponentielle. On a
$$e^{A+H}=e^A + L(H)+o(||H||)$$
où $L$ est l'application linéaire définie par
$$L(H)= \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{n-1} A^k H A^{n-1-k} $$
Bien sûr si $HA=AH$ alors $L(H)=e^A H$.

LIAUTARD1 · May 2005

Bonjour

C'est possible voir par exemple :
Groupes de Lie classiques de Mneimne et Testard page 80.

codialement

Pitou · May 2005

Ah oui et j'ai oublié de dire que $|||L|||=||e^A||$ ! Elle est pas belle la vie...

Vincent7 · May 2005

C'est traité en exercice dans Rouvière (petit guide de calcul diff à l'usage de la licence et de l'agregation) p119 et 297 (deuxième édition pour les pages !)

Vincent

alekk10 · May 2005

oui bien sûr on trouve cette expression en développant l'exponentielle
mais je me suis mal exprimé. Peut t on trouver une expression de la
différentielle en terme de fonctions matricielles classiques
(comme l'exponentielle par exemple) sans passer par une série entière ?

muaddob · May 2005

bonjour,

dans exactement la même famille famille, j'aimerai la différentielle de

$A^{-1}$

je peux y arriver par le calcul sauvage, mais je suis sur qu'une formulation simple doit pouvoir exister non ?

Cordialement

alekk10 · May 2005

pour celle là ca existe en passant par la formule de l'inverse avec la comatrice je crois.

oumpapah0 · May 2005

pour muaddob

oui une formule simple existe.

d(A^-1) .H = -A^-1.H.A^-1

facile à obtenir

tout d'abord (I+H)^-1 = I -H + o(H) (pour H "petite")
ensuite on evalue ( pour H "petite")

(A+H)^-1 -A^-1 =[A(I+A^-1.H]^-1 -A^-1=
= [(I+A^-1.H) -I ]A^-1
=A^-1.H.A^-1 + o(H)
et c'est fini.

Oump.

muaddob · May 2005

ok merci beaucoup,

c'est un problème que je devrai résoudre dans quelques temps et je sentais bien qu'on pouvait trouver une "similiarité" avec le $-1/x^2$ mais je n'avais pas pensé à l'écrire (bêtement) sous une forme quadratique !!

Merci donc pour la démo !

je récapitule en latex (pour la forme, et pour corriger une coquille de signe)

>

Muad'dob

e=mc31 · July 2006

POur poursuivre sur le sujet, l'exponentielle de matrice est en fait de classe $C^{\infty}$

Il paraît que c'est fait dans le Dieudonné et que l'on démontre l'analycité (théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables j'imagine). Je n'ai pas l'ouvrage en question sous la main. ESt ce nettement plus difficle que le fait de démontrer le caractère C1? Une piste?

marco · July 2006

$f(z_1,z_2)=1/(2i\pi)^2\int_{C^2}
f(\zeta_1,\zeta_2)/(\zeta_1-z_1)(\zeta_2-z_2)d\zeta_1d\zeta_2$
si f est analytique en chaque variable separement.

jojopoussin · July 2006

Les gros livres de Arnaudiès-Bertin traitent également de l'exponenetielle et on y trouve de très jolies démonstrations.

Ces livres sont des mines mais souvent un peu difficiles à explorer, comme toutes les mines à trésors.

Cela dit, dans les livres récents, je ne saurais insister sur la qualité du livre de jacques faraut "analyse sur les groupes de Lie" qui livre des calculs et des secrets sur les groupes de Lie et l'analyse dessus qui ne se trouvent nulle part ailleurs, ni en farnçais ni en anglais, et c'est relativement accessible dès une bonne licence.

Il y en a marre du Mneimne Testard
Arnaudies- Bertin ont les cheveux chatains quant à Faraut il désaltère comme l'eau.

Pilz · July 2006

Faut voir aussi la belle démo de Lafontaine qui montre que l' exponentielle est $C^{\infty}$.

Pour ce qui est d'une expression simple de la différentielle je n'en connais pas... ( on peut utiliser l' opérateur $ad_X$ mais l' expression finale est encore sous forme de série)

Seb B. · November 2012

Bonjour,

Visiblement j'arrive quelque peu après la bataille, mais je pense que la formule suivante répond assez bien à la question initiale, même s'il n'y a pas de miracle et qu'il y a tout de même une intégrale:

$$\exp(A+B)=\exp(A)+\int_0^1 \exp(tA)\,B\,\exp((1-t)A)\,dt+\mathcal O (\|B\|^2).$$

Pour la démontrer:
-Considérer l'intégrale dans le second membre, et développer les deux exponentielles.
-Calculer les intégrales de la forme $\int_0^1 t^n(1-t)^m dt$ qui apparaissent. ($n$ et $m$ étant les indices utilisés dans les développements des l'exponentielles.)
-Regrouper les termes à des valeurs de $n+m$ fixées.
-On reconnaît alors la formule donnée plus haut par Pitou.

Cordialement.

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