Union, intersection, complémentaire
dans Les-mathématiques
Bonjour, je cherche les démonstrations de ces propositions pour comparer avec ce que j'ai fait.
f : X -> Y, pour tout sous-ensemble A et B de X, Montrer qu'on a f(A intersect = f(A) intersect f(B)
$f^-1$(A intersect = $f^-1$(A) intersect $f^-1$(B)
$f^-1$(A U = $f^-1$(A) U $f^-1$(B)
f (A intersect $f^-1$(B)) = f(A) intersect B
C(A) U C(B) = C(A U -> complémentaire
Merci beaucoup
f : X -> Y, pour tout sous-ensemble A et B de X, Montrer qu'on a f(A intersect = f(A) intersect f(B)
$f^-1$(A intersect = $f^-1$(A) intersect $f^-1$(B)
$f^-1$(A U = $f^-1$(A) U $f^-1$(B)
f (A intersect $f^-1$(B)) = f(A) intersect B
C(A) U C(B) = C(A U -> complémentaire
Merci beaucoup
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Réponses
$f^-1(A \cup = f^-1(A) \cup f^-1(B)$
$f (A \cap f^-1(B)) = f(A) \cap B$
(pour $\cup$ c'est la commande latex \cup et pour $\cap$ c'est \cap)
Pour le premier écrivez $f^{-1}(A)=\{x\in E|\exists y\in A | y=f(x) \}$
et $A \cap B = \{x | x\in A et x\in B\}$
Ca devrait vous aider à conclure quant à une inclusion.
Des contre-exemples peuvent aussi vous aider si une inclusion vous semble fausse, ou dure à prouver.
Amicalement
Volny
$f : X \rightarrow Y$, pour tout sous-ensemble $A$ et $B$ de $X$, Montrer qu'on a :
$f(A \cap = f(A) \cap f(B)$
$f^{-1}(A \cap = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$
$f^{-1}(A \cup = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$
$f (A \cap f^{-1}(B)) = f(A) \cap B$
$\complement{A} \cup \complement{B} = \complement(A \cap $
Merci beaucoup
[j'ai corrigé ta dernière formule sur les compléméntaires. AD]
La méthode systématique pour traiter ce genre de problème d'égalité entre ensembles est de montrer l'inclusion dans un sens puis dans l'autre, d'où on déduit l'égalité par antisymétrie de le relation inclusion.
Par exemple, la 1\up{ère} question : $f(A \cap = f(A) \cap f(B)$
1) Montrons $f(A \cap \subset f(A) \cap f(B)$
On prend un élément quelconque $x \in f(A \cap $,
cela veut dire que $\exists y \in A\cap B$ tel que $x = f(y)$
mais $y \in A\cap B \subset A$ donc $x=f(y) \in f(A)$
et pareillement $y \in A\cap B \subset B$ donc $x=f(y) \in f(B)$
donc $x \in f(A) \cap f(B)$
et comme on avait pris $x$ quelconque dans $f(A\cap $ on en déduit
$f(A\cap \subset f(A) \cap f(B)$
2) Montrons $f(A) \cap f(B)\subset f(A\cap $. Mais là, ça se gâte, parcequ'on a un contrexemple:
$f: \R \rightarrow \R$ défini par $f(x)=x^2$ et $A=[-2;-1]$ et $B=[1;2]$ (fais un dessin).
$f(A)=[1;4]=f(B) = f(A)\cap f(B)$ pourtant $A\cap B = \emptyset$ et donc $f(A\cap = \emptyset \neq [1;4]$
Toutefois, cette réciproque sera vraie si on suppose que $f$ {\bf est injective} parcequ'alors :
Soit $x \in f(A) \cap f(B)$ alors $\exists y \in A,\ x=f(y)$ et aussi $\exists z\in B,\ x = f(z)$.
On a donc $x=f(y) = f(z)$ et donc $y=z$ puisqu'on suppose $f$ injective, et alors cette valeur commune $y=z$ est dans $A \cap B$ et $x\in f(A\cap $
et $x$ étant quelconque on a montré que $f(A) \cap f(B)\subset f(A\cap $.
En réunissant 1) et 2) on en déduit que si $f$ est injective alors $f(A) \cap f(B) = f(A\cap $.
Voilà il ne te reste plus qu'à suivre la même méthode (montrer les 2 inclusions) pour les autres questions, en utilisant les définitions des différents ensembles que t'a rappelées Volny.
Alain
svp je voudrais savoir la démonstration de la proposition suivante:
" montrer que : quelque soit A,B, appartiennent P(E) , F(A) U F(B) inclus F(A U "
F est une application dans P ( E)
merci
Difficile de te répondre car ta fonction $F$ n'est pas claire : "F est une application dans P ( E) " ? De quoi dans $P(E)$ ? Quel est son ensemble de départ et son ensemble d'arrivée ?
Sinon, pour une application $f$ de $E$ dans un ensemble $G$ (éventuellement égal à $E$), et avec la notation traditionnelle (*), on a bien :
$f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup $ pour $A$ et $B$ sous-ensembles de $E$.
La preuve s'obtient en prenant un élément de $f(A)\cup f(B)$ et en montrant qu'il est bien dans $f(A\cup $. Il suffit d'écrire.
Cordialement.
(*) Si $A\subset E$, alors $f(A)=\{f(x)/x\in A\}$