<HTML>Bonjour,
oui on peut généraliser grâce à une belle application de méthode linéaire empruntée à Monsieur Charles Pisot(grand arithméticien Français).
L'idée sera exprimée sur un exemple par une méthode facilement généralisable.
On va montrer que si x et y sont algébriques de degrés respectifs 2 et3 alors
x+y va annuler un polynôme sur Q de degré 2.3=6 car x+y va être une valeur propre d'une matrice 6x6 sur Q donc une racine du polynôme caractéristique .
x^2-ax-b=0
y^3-cy^2-d^y-e=0 avec a,b,c,d,e dans Q
On considère la matrice intermédiaire (x^iy^j) où i=0 à 1 et j=0 à 2 soit
1 y y^2
x xy xy^2
puis la colonne V obtenue en écrivant l'une en dessous de l'autre les colonnes soit
t(V)=[1,x,y,xy,y^2,xy^2] où t(V)=transposée de V
On calcule (x+y)V en remplaçant x^2 par ax+b et y^3 par cy^2+dy+e
(x+y)1=x+y
(x+y)x=x^2+xy=ax+b+xy
(x+y)y=xy+y^2
(x+y)xy=x^2y+xy^2=axy+by+xy^2
(x+y)y^2=xy^2+y^3=xy^2+cy^2+dy+e
(x+y)xy^2=x^2y^2+xy^3=axy^2+by^2+cxy^2+dxy+ex=(a+c)xy^2+by^2+dxy+ex
On a donc (x+y)V=AV où A est la matrice sur Q suivante
0 1 1 0 0 0
b a 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 b a 0 1
e 0 d 0 c 1
0 e 0 d b a+c
Donc x+y est annulé par le polynôme sur Q P(u)=det(uI-A) ;x+y est donc algébrique de degré au plus 2.3=6.
Par une méthode analogue on montre que xy est aussi algébrique de degré au plus 6.
Les calculs précédents tiennent encore si a,b,c,d,e sont dans Z c'est à dire que si x et y sont des entiers algébriques alors x+y et xy sont aussi des entiers algébriques car P est unitaire.Comme l'opposé d'un entier algébrique reste entier
on a aussi prouvé que l'ensemble des entiers algébiques a une structure d'anneau(acui) mais pas de corps car l'inverse d'un entier comme rac(2) n'est pas toujours entier vu que le minimal de 1/rac(2) est 2x^2-1 et qu'il n'est pas unitaire.
Par contre l'opposé d'un nombre algébrique est algébrique (facile en changeant de signe certains coéfficients) et l'inverse d'un algébrique est aussi algébrique(facile) donc l'ensemble des nombres algébriques est un corps.
Voilà ,j'espère que cette jolie méthode vous réjouira les neurones comme cela a été le cas pour moi.</HTML>
