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Nombres Algébriques

Envoyé par Vincent 
Vincent
Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Bonsoir, amis du Forum.

Soit x et y, 2 complexes (ou réels, je ne sais pas si celà change quoi que ce soit) algébriques (i.e racines d'un polynôme à coefficient entiers). Comment montrer que x+y ainsi que xy sont algébriques ?
Merci d'avance Vincent G.</HTML>
jean-éric
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Soit K et L deux corps tels que K soit inclus dans L(L est une extension de K) . On a le th suivant :
L'ensemble de x de L qui sont algébriques sur K forment un sous corps de L.
Soit x et y de L algébriques sur K , on a que K[x,y]=K[x][y] et K[x] et K[x,y] sont alors des corps et de dimensions finies sur K. Comme K[x+y] et K[xy] sont inclus dans K[x,y] ils sont algébriques sur K.
Cf poly de Perrin chapitre 3.</HTML>
Richard André-Jeannin
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Peut-on trouver les polynôme dont x+y et xy sont les racines, à partir du polynôme de x et du polynôme de y?</HTML>
Vincent
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Je ne sais pas mais j'aimerais savoir; car c'est un peu pour ça que j'ai posé la question...</HTML>
Richard André-Jeannin
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Prenons un cas très simple:
ax+b=0, cy+d=0
On a: ac(x+y)+(ad+bc)=0
ac(xy)-bd=0.
Peut-on généraliser?</HTML>
aghray
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>bonjour,amis du forum
Je sais résoudre cette question d'une manière pratique
mais je ne possède pas le formalisme complet.
En fait,ça fait appel à la manipulation de ce qu'on
appelle les foncions symétriques.
Supposons qu'on a un polynome P de degré n ,soient
X1,..,Xn ses n racines,de meme pour un polynome Q
de degré m,soient Y1,..,Ym ses m racines.Alors,on
procède comme suit:
soit: Zij=Xi + Yj avec i allant de 1 à n et j allant de 1 à m,
il faut montrer que Z est racine d'un polynome de degré mn,
je n'expliqueras pas ici comment trouver ce polynome à
partir des la somme des puissances kièmes des racines.
amicalement</HTML>
Vincent
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>J'avoue rester un peu sur ma faim. Quelqu'un détient-il la clé de ce problème (si elle existe) ?</HTML>
Richard André-Jeannin
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Si ax^2+bx+c=0 et dy^2+ey+f=0, on calcule x et y et:
z=x+y=A+B(R^0.5)+C(S^0.5), avec A, B, C des rationnels et R, S les discriminants.
Donc: (z-A)^2 = D+E(RS)^0.5, avec D,E des rationnels et
[(z-A)^2-D]^2 = (E^2)RS.
Donc, en général, z est solution d'un polynôme de degré 4 (il y a des cas particuliers, si R=S on a RS(^0.5) qui est entier, et z est solution de l'équation de degré 2 (z-A)^2 = D+E(RS)^0.5. On peut même avoir z solution d'une équation de de gré 1, si x et y sont les 2 solutions d'une équation de degré 2)
Le même genre d'étude est valable pour xy.
C'est la généralisation qui semble moins évidente, surtout si le degré est supérieur ou égal à 5.(en degré 3 ou 4, il est clair que les formules genre Cardan permettraient d'arriver au résultat).</HTML>
Richard André-Jeannin
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Dans le cas précédent des équations de degré 2, on peut écrire explicitement A,B,C,D,E,R et S et obtenir la forme exacte de l'équation vérifiée par z. Je n'ai pas trop le courage de faire les calculs, mais ça m'étonnerait que l'on puisse en tirer une idée de généralisation.</HTML>
Guy PHILIPPE
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Bonjour,
oui on peut généraliser grâce à une belle application de méthode linéaire empruntée à Monsieur Charles Pisot(grand arithméticien Français).
L'idée sera exprimée sur un exemple par une méthode facilement généralisable.
On va montrer que si x et y sont algébriques de degrés respectifs 2 et3 alors
x+y va annuler un polynôme sur Q de degré 2.3=6 car x+y va être une valeur propre d'une matrice 6x6 sur Q donc une racine du polynôme caractéristique .
x^2-ax-b=0
y^3-cy^2-d^y-e=0 avec a,b,c,d,e dans Q
On considère la matrice intermédiaire (x^iy^j) où i=0 à 1 et j=0 à 2 soit
1 y y^2
x xy xy^2
puis la colonne V obtenue en écrivant l'une en dessous de l'autre les colonnes soit
t(V)=[1,x,y,xy,y^2,xy^2] où t(V)=transposée de V
On calcule (x+y)V en remplaçant x^2 par ax+b et y^3 par cy^2+dy+e
(x+y)1=x+y
(x+y)x=x^2+xy=ax+b+xy
(x+y)y=xy+y^2
(x+y)xy=x^2y+xy^2=axy+by+xy^2
(x+y)y^2=xy^2+y^3=xy^2+cy^2+dy+e
(x+y)xy^2=x^2y^2+xy^3=axy^2+by^2+cxy^2+dxy+ex=(a+c)xy^2+by^2+dxy+ex
On a donc (x+y)V=AV où A est la matrice sur Q suivante

0 1 1 0 0 0
b a 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 b a 0 1
e 0 d 0 c 1
0 e 0 d b a+c
Donc x+y est annulé par le polynôme sur Q P(u)=det(uI-A) ;x+y est donc algébrique de degré au plus 2.3=6.
Par une méthode analogue on montre que xy est aussi algébrique de degré au plus 6.
Les calculs précédents tiennent encore si a,b,c,d,e sont dans Z c'est à dire que si x et y sont des entiers algébriques alors x+y et xy sont aussi des entiers algébriques car P est unitaire.Comme l'opposé d'un entier algébrique reste entier
on a aussi prouvé que l'ensemble des entiers algébiques a une structure d'anneau(acui) mais pas de corps car l'inverse d'un entier comme rac(2) n'est pas toujours entier vu que le minimal de 1/rac(2) est 2x^2-1 et qu'il n'est pas unitaire.
Par contre l'opposé d'un nombre algébrique est algébrique (facile en changeant de signe certains coéfficients) et l'inverse d'un algébrique est aussi algébrique(facile) donc l'ensemble des nombres algébriques est un corps.
Voilà ,j'espère que cette jolie méthode vous réjouira les neurones comme cela a été le cas pour moi.</HTML>
Vincent
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Merci pour cette très belle réponse qui, en effet, soulage les méninges.</HTML>
Richard André-Jeannin
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Superbe méthode. Je me demande ce qui se cache en dessous.</HTML>
Guy PHILIPPE
Re: Nombres Algébriques
il y a dix huit années
<HTML>Bonjour,
je suis heureux de voir que nous avons les mêmes valeurs!
Il est très étonnant de constater que cette méthode ,la plus belle que je connaisse,soit oubliée car dans les livres on trouve des preuves souvent assez
lourdes et pénibles.Donc il faut faire connaître ces belles idées aux collègues afin que cela devienne la méthode de référence ;nos étudiants ne s'en plaindront pas.</HTML>
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