probleme de DENOMBREMENT

fjj · August 2001

On dispose de p barres de longueur 2 et q barres de longueur 1.

a.Combien de recouvrement distincts sont possible ?

b.On peut disposer les barres de facons que 2 barres de longueur 2 soint toujours séparés par au moins une barres de longueur 1.
Combien de recouvrement satisfont cette propriété ?

c.On dispose de 2 barres de longueur 5, 4 barres de longueur 3 et 7 barres de longueur 2.
Combien de recouvrement distincts sont possible ?
Combien y en a-t-il dans lequels
-les 2 barres de longueur 5 ne sont pas consecutives (séparés par au moins une barre de longueur 2 ou 3 ?
-il n'y a pas de 2 barres de longueur 2 consecutives ?
-chaque barres de longueur 3 est précédée d'une barre de longueur 2 ?

Richard André-Jeannin1 · August 2001

<HTML>Qu'appelez-vous des recouvrements?

fjj · August 2001

<HTML>Pour plus explication le recouvrement consiste a mette bout à bout les barres.
Pour la 1 question on recouvre une barre de 2p+q.

Pierre RENFER · August 2001

<HTML>Bonjour,

QUESTION a

Soit f(p,q) le nombre de possibilités.

Parmi ces f(p,q) configurations, on discerne f(p-1,q) configurations commençant par une barre de longueur 2 et f(p,q-1) configurations commençant par une barre de longueur 1.
On obtient donc la relation de récurrence :
f(p,q)=f(p-1,q)+f(p,q-1) , pour p et q strictement positifs
Avec les conditions aux bords : f(1,0)=f(0,1)=1

Or si l'on note g(p,q) le coefficient binomial C(p+q,p), on constate, en utilisant la relation de Pascal, que g vérifie la même relation de récurrence que f .
De plus g vérifie les mêmes conditions aux bords que f.

Donc : f(p,q)=g(p,q)=C(p+q,p)

QUESTION b

Soit h(p,q) le nombre de possibilités.

Les configurations commençant par un barre de longueur 2, ont nécessairement une barre de longueur 1 en deuxième place.
La relation de récurrence devient donc ici :
h(p,q)=h(p-1,q-1)+h(p,q-1), pour p et q strictement positifs
Avec les conditions aux bords : h(1,0)=h(0,1)=1

Or si l'on note k(p,q) le coefficient binomial C(q+1,p), on constate, en utilisant la relation de Pascal, que k vérifie la même relation de récurrence que h .
De plus k vérifie les mêmes conditions aux bords que h.

Donc : h(p,q)=k(p,q)=C(q+1,p)

fjj · August 2001

<HTML>Je vous remerci.....

probleme de DENOMBREMENT

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Bonjour!

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