preuve simple de Sunyer y Balaguer

La démo classique utilise deux fois le théorème de Baire. Quelqu'un avait parlé sur le forum d'une démo par l'absurde qui ne nécessitait pas ce théorème.

Yann à écrit :


Oui c'est bien ça, utilisation par 2 fois de Baire.

1) On commence par poser pour $k>0$, $A_k={x \in \R \, ; \, f^{(k)} (x)=0}$. Grâce à Baire, on en déduit qu'il existe un entier p > 0 tel que l'intérieur de $A_p$ soit non vide. Puis que pour $n \geq p$, l'intérieur de $A_n$ est lui aussi non vide. De plus, la suite $(A_p)$ est croissante.

2) On pose alors $F = \R \cup \bigcup_{i=p}^{\infty} \tilde{A_i}$, et on écrit $F = \bigcup_{k=1}^{\infty} (F \cap A_k)$. Supposons $F$ non vide. En utilisant Baire à nouveau, il existe un entier $n>0$ tel que $F \cap A_n$ contirenne un ouvert $U$ non vide. pour tt $x$ appartenant à $U$, on a alors $f^{(n)}(x)=0$. Contradiction avec la définition de $F$. Donc $F$ est vide et $\R = \bigcup_{i=p}^{\infty} \tilde{A_i}$.

3) $[-1 ; 1]$ est recouvert par un nb fini des $U_i$, dc par croissance des $U_i$, il existe un $k$ tel que $[-1 ; 1] \subset U_k$... donc $f^{(k)}(x)=0$ pour tt $x$ dans $[-1 ; 1]$. donc $f$ coïncide avec une fonction polynome $P$ sur $[-1 ; 1]$. on recommence sur $[-2 ; 2]$, $f$ coïncide avec une fonction polynome $Q$ sur $[-2 ; 2]$ , comme $P-Q$ s'annule sur $[-1 ; 1]$, $P=Q$, etc... on répète le même raisonnement sur tt intervalle $[ -q ; q]$. Voilà.

PS : je débute en LATEX, alors peut-être certains caractères ne passeront pas, mais si un modérateur veut bien corriger.
Merci

Yann



NdT : j'ai oublié comment on fait l'intérieur, j'ai noté $\tilde{A}$...

$[-1 ; 1] \,\subset$ $U_k$

Juste une question bête; les hypothèses du th, c'est pour tout x, il existe n etc, parce que sinon c'est trivial non?

pour e=mc3 : si pour tt x appartenant à un intervalle de $\R$ on a $f^{(p)} (x) = 0$, alors pour $n\geq p$, on a nécessairement sur ce même intervalle $f^{(n)} (x) =0$, non ?
Gourdon me semble parfois adopter le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", comme avec la preuve du th de l'application ouverte, bien plus claire dans le Brézis...
Sinon, pour Eric : je pense que la preuve du El Mabsout doit être identique à celle de Boas dont tu parles...

Bonnes révisions à tous

Yann

Petite imprécision dans le 1) (preuve de Yann) : c'est la suite des intérieurs des Ap qui est croissante ( et pas à priori (Ap) elle-même) ( en effet, c'est intérieur de Ap non vide qui permet de dire que la dérivée n-iéme de x est nulle aussi pr x ds intérieur de Ap et n>=p et donc l'intérieur de Ap est inclus ds An et ainsi l'intérieur de Ap est inclus dans l'intérieur de An).
Bonne chance pour les oraux.

Je connaissais ce théorème sous le nom de théorème de Corominas, il me semble.

Bonjour,

pour l'agrégation de Yann, c'est sans doute un peu tard, mais ça pourra en intéresser d'autres... Il me semble que la preuve d'El Mabsout citée ci-dessus contient une erreur (et je viens de vérifier qu'elle est aussi dans le bouquin). En revanche celle de Boas donnée ici (citée sur une autre page du forum) est correcte (mais rédigée de façon trop concise pour une leçon d'agreg ; la version du livre est un tout petit peu plus développée mais à reprendre légèrement pour la rendre plus formelle).

Le problème est au point 2) : F est fermé donc complet, on peut bien lui appliquer le théorème de Baire, mais celui-ci permet de conclure qu'il existe $n$ tel que $F\cap A_n$ contient un ouvert non vide... de la topologie induite sur $F$ ! Ainsi, tout ce qu'on sait c'est qu'il existe un intervalle ouvert $J$ tel que $F\cap J$ n'est pas vide et $F\cap J\subset F\cap A_n$. Et non pas un intervalle ouvert inclus dans $F\cap A_n$. La preuve s'en trouve un peu rallongée. Notamment, il faut montrer que $F$ est parfait (i.e. fermé (ok) et sans point isolé) pour conclure que non seulement $f^{(n)}(x)=0$ pour $x\in F\cap A_n$ mais aussi $f^{(m)}(x)=0$ pour tout $m\geq n$, de façon à pouvoir dire ensuite : sur chaque composante connexe $I$ de $F^c\cap J$, $f^{(m)}(x)=0$ pour un certain $m$, et à une extrêmité $a(\in F\cap J\subset A_n)$ de $I$ on a $f^{(n)}(a)=f^{(n+1)}(a)=\cdots=0$, donc en dérivant ou en intégrant (à partir de $a$) on a bien $f^{(n)}(x)=0$ pour tout $x\in I$.

Tu n'as pas dit "Dieu m'en garde"

Bonne nuit à tous,

Cher c. c.,
Peux-tu m'expliquer (en moins de 1000 lignes, si possible) la différence entre "à Dieu ne plaise" et "Dieu m'en garde" ?
S'il faut que le théorème de Baire se justifie par ses applications, je ne voie pas pourquoi le théorème de Sunyer y Balaguer ne devrait pas se justifier par ses applications (à un th. de Baire, par exemple !). Après tout, Baire est plus célèbre que Sunyer y Balaguer ! Avec ces noms espagnols, on ne sait jamais si l'on a affaire à une plusieurs personnes.
Quant à la manie de dire "ça s'applique à ceci ou cela", c'est pratiquement une obligation depuis pas mal d'années. Je ne critique pas trop, parce qu'il arrive qu'un article soit sans intérêt mais que les applications suggérées soient à mourir de rire. On n'a moins l'impression d'avoir lu pour rien ... J'aime beaucoup l'humour involontaire.
Bien cordialement.

Bonjour,

Merci.

Bien cordialement.