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preuve simple de Sunyer y Balaguer

Envoyé par Yann 
preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<latex> Bonjour,
en recherche de développements en analyse, je pensais présenter parmi eux le théorème de Sunyer y Balaguer : soit f : $\R$ $\longrightarrow$ $\R$ de classe $C^\infty$ telle que pour tout x appartenant à $\R$ on ait $f^(n)(x)$=0, alors f est une fonction polynôme.
La preuve fournie par le Gourdon est certes compréhensible mais un peu compliquée. J'en ai trouvé une beaucoup plus simple dans le livre d'exercices de calcul diff de B El Mabsout chez Masson (c'est le bouquin d'exos qui va avec le cours d'Avez). Elle me semble même plus simple que celle proposée sur le site. Qu'en pensez-vous ? Il n'y a pas d'arnaque cachée ?
Merci

Yann
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Je ne connaissais pas le nom de ce théorème (il faudrait peut-être le rajouter sur le cour d'Analyse du site ?).

Tu pourrais donner une idée de cette preuve de El Mabsout ?
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
La démo classique utilise deux fois le théorème de Baire. Quelqu'un avait parlé sur le forum d'une démo par l'absurde qui ne nécessitait pas ce théorème.
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<latex> Oui c'est bien ça, utilisation par 2 fois de Baire.

1) On commence par poser pour k>0, $A_k$={x$\in$ $\R$; $f^(k)$ (x)=0}. Grâce à Baire, on en déduit qu'il existe un entier p > 0 tel que l'intérieur de $A_p$ soit non vide. Puis que pour n >=p, l'intérieur de $A_n$ est lui aussi non vide. De plus, la suite ($A_p$) est croissante.

2) On pose alors F = $\R$\$\union_{i=p}^{\infty}{intérieur de $A_i$}$, et on écrit F = $\union_{k=1}^{\infty} {F inter $A_k$}$. Supposons F non vide. En utilisant Baire à nouveau, il existe un entier n>0 tel que F inter $A_n$ contirenne un ouvert U non vide. pour tt x appartenant à U, on a alors $f^(n)$(x)=0. Contradiction avec la définition de F. Donc F est vide et $\R$=$\union_{i=p}^{\infty}{intérieur de $A_i$}$.

3) [-1 ; 1] est recouvert par un nb fini des $U_i$, dc par croissance des $U_i$, il existe un k tel que [-1 ; 1] $\subset$ $U_k$... donc $f^(k)$(x)=0 pour tt x dans [-1 ; 1]. donc f coïncide avec une fonction polynome Psur [-1 ; 1]. on recommence sur [-2 ; 2], f coïncide avec une fonction polynome Q sur [-2 ; 2] , comme P-Q s'annule sur [-1 ; 1], P=Q, etc... on répète le même raisonnement sur tt intervalle [ -q ; q]. Voilà

PS : je débute en LATEX, alors peut-être certains caractères ne passeront pas, mais si un modérateur veut bien corriger.
Merci

Yann
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<!--latex-->Tu as la démo utilisant deux fois le théorème de Baire dans <I>A primer of real functions</I> de Ralph Boas (publié par la MAA) et qui est un livre se trouvant dans la librairie de l'agrégation.<BR>
e=mc3
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Quelques questions

1°)la preuve de GOurdon semble n'utiliser qu'une seule fois le th. de Baire?

2°)Dans le 1°) de la démo de Yann peut on se passer de Rolle comme dans le Gourdon, pour montrer qu'à partir du rang p les An sont d'intérieurs non vides et constituent une suite croissante (Baire ne permet que d'exhiber un Ap d'intérieur non vide)?
corentin
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Juste une question bête; les hypothèses du th, c'est pour tout x, il existe n etc, parce que sinon c'est trivial non?
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<latex>oui, le n dépend de x !!!
sinon dans le 3) les $U_i$ représentent l'intérieur des$A_i$.
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<latex> pour e=mc3 : si pour tt x appartenant à un intervalle de $\R$ on a $f^(p) (x) = 0$, alors pour n>=p, on a nécessairement sur ce même intervalle $f^(n) (x) =0$, non ?
Gourdon me semble parfois adopter le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", comme avec la preuve du th de l'application ouverte, bien plus claire dans le Brézis...
Sinon, pour Eric : je pense que la preuve du El Mabsout doit être identique à celle de Boas dont tu parles...

Bonnes révisions à tous

Yann
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
L'intérêt de Boas pour ce type de problèmes est qu'il donne quatre exemples d'utilisation de Baire à la suite, le théorème de Sunyer y Balaguer étant le premier exemple (il y a un cinquième exemple à la fin du bouquin).
e=mc3
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
J'ai beau relire ta démo Yann je ne vois pas où est la faille. Ca a donc l'air jouable pour un oral.

L'avantage par rapport au Gourdon c'est qu'on la mémorise facilement.
Maintenant la démo du Gourdon est applicable dans des leçons où il y a du Rolle etc. Mais perso je ne prendrais pas le risque de la présenter. D'ailleurs à coup sûr un membre du jury risque de demander "n'y a-t-il pas plus simple ?"
Michel
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Petite imprécision dans le 1) (preuve de Yann) : c'est la suite des intérieurs des Ap qui est croissante ( et pas à priori (Ap) elle-même) ( en effet, c'est intérieur de Ap non vide qui permet de dire que la dérivée n-iéme de x est nulle aussi pr x ds intérieur de Ap et n>=p et donc l'intérieur de Ap est inclus ds An et ainsi l'intérieur de Ap est inclus dans l'intérieur de An).
Bonne chance pour les oraux.
Michel
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Seconde petite imprécision dans le 2) ( de la même preuve ) :
il faut indiquer pour obtenir la contradiction que n>=p - sinon pas de contradiction- ce qui est toujours possible (la suite (intérieurs de Ak) est croissante). Autre solution : prendre pour indice p en 1) le plus petit k tel que l'intérieur de Ak soit non vide.
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
Je connaissais ce théorème sous le nom de théorème de Corominas, il me semble.
VK
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a treize années
<!--latex-->Bonjour, <BR> <BR>Voir aussi <a href=" [www.les-mathematiques.net]; [www.les-mathematiques.net]; <BR> <BR>VK<BR>
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a huit années
Bonjour,

pour l'agrégation de Yann, c'est sans doute un peu tard, mais ça pourra en intéresser d'autres... Il me semble que la preuve d'El Mabsout citée ci-dessus contient une erreur (et je viens de vérifier qu'elle est aussi dans le bouquin). En revanche celle de Boas donnée ici (citée sur une autre page du forum) est correcte (mais rédigée de façon trop concise pour une leçon d'agreg ; la version du livre est un tout petit peu plus développée mais à reprendre légèrement pour la rendre plus formelle).

Le problème est au point 2) : F est fermé donc complet, on peut bien lui appliquer le théorème de Baire, mais celui-ci permet de conclure qu'il existe $n$ tel que $F\cap A_n$ contient un ouvert non vide... de la topologie induite sur $F$ ! Ainsi, tout ce qu'on sait c'est qu'il existe un intervalle ouvert $J$ tel que $F\cap J$ n'est pas vide et $F\cap J\subset F\cap A_n$. Et non pas un intervalle ouvert inclus dans $F\cap A_n$. La preuve s'en trouve un peu rallongée. Notamment, il faut montrer que $F$ est parfait (i.e. fermé (ok) et sans point isolé) pour conclure que non seulement $f^{(n)}(x)=0$ pour $x\in F\cap A_n$ mais aussi $f^{(m)}(x)=0$ pour tout $m\geq n$, de façon à pouvoir dire ensuite : sur chaque composante connexe $I$ de $F^c\cap J$, $f^{(m)}(x)=0$ pour un certain $m$, et à une extrêmité $a(\in F\cap J\subset A_n)$ de $I$ on a $f^{(n)}(a)=f^{(n+1)}(a)=\cdots=0$, donc en dérivant ou en intégrant (à partir de $a$) on a bien $f^{(n)}(x)=0$ pour tout $x\in I$.
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a huit années
avatar
Bonjour à tous,

Si j'étais (à Dieu ne plaise) membre du jury de l'agrégation, à un candidat ayant exposé le théorème de Sunyer y Balaguer, je ne pourrais pas m'empêcher de demander "vous avez quelques applications du théorème de Sunyer y Balaguer ?". smiling bouncing smiley
Bien cordialement. :)
ccnc
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a huit années
Tu n'as pas dit "Dieu m'en garde" :D
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a huit années
Citation

vous avez quelques applications du théorème de Sunyer y Balaguer ?".

Pourquoi faudrait-il que tout s'applique? Le th de SB est DEJA une "zolie??" petite conséquence de Baire (directe et simple** corollaire, si on admet la culture étudiante que tout le monde sait ce qu'est la continuité, dérivabilité, etc), et faudrait en plus appliquer un truc deja "appliqué"??? hot smiley


** le point important (c'est un cas particulier de Baire avec la réunion des fermés $F_n:=\{x/f^{(n)}(x)=0 \}$) est qu'il existe un ouvert $U$ et un entier n tel que la restriction de $f^{(n)}$ à $U$ est nulle et donc tels que $f/U$ est la restriction d'un polynôme à $U$, le reste étant du "recollement".

J'ai plutôt l'impression que ce qui peut éventuellement intéresser les gens, ce sont les rédactions liées aux phénomènes de recollement dans les maths, toujours un peu "chieries" et dont certaines concernent l'enseignement secondaire.
Re: preuve simple de Sunyer y Balaguer
il y a huit années
avatar
Bonne nuit à tous,

Cher c. c.,
Peux-tu m'expliquer (en moins de 1000 lignes, si possible) la différence entre "à Dieu ne plaise" et "Dieu m'en garde" ?
S'il faut que le théorème de Baire se justifie par ses applications, je ne voie pas pourquoi le théorème de Sunyer y Balaguer ne devrait pas se justifier par ses applications (à un th. de Baire, par exemple !). Après tout, Baire est plus célèbre que Sunyer y Balaguer ! Avec ces noms espagnols, on ne sait jamais si l'on a affaire à une plusieurs personnes.
Quant à la manie de dire "ça s'applique à ceci ou cela", c'est pratiquement une obligation depuis pas mal d'années. Je ne critique pas trop, parce qu'il arrive qu'un article soit sans intérêt mais que les applications suggérées soient à mourir de rire. On n'a moins l'impression d'avoir lu pour rien ... J'aime beaucoup l'humour involontaire.
Bien cordialement. :)
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