preuve simple de Sunyer y Balaguer
dans Les-mathématiques
Bonjour,
en recherche de développements en analyse, je pensais présenter parmi eux le théorème de Sunyer y Balaguer : soit f : $\R$ $\longrightarrow$ $\R$ de classe $C^\infty$ telle que pour tout x appartenant à $\R$ on ait $f^(n)(x)$=0, alors f est une fonction polynôme.
La preuve fournie par le Gourdon est certes compréhensible mais un peu compliquée. J'en ai trouvé une beaucoup plus simple dans le livre d'exercices de calcul diff de B El Mabsout chez Masson (c'est le bouquin d'exos qui va avec le cours d'Avez). Elle me semble même plus simple que celle proposée sur le site. Qu'en pensez-vous ? Il n'y a pas d'arnaque cachée ?
Merci
Yann
en recherche de développements en analyse, je pensais présenter parmi eux le théorème de Sunyer y Balaguer : soit f : $\R$ $\longrightarrow$ $\R$ de classe $C^\infty$ telle que pour tout x appartenant à $\R$ on ait $f^(n)(x)$=0, alors f est une fonction polynôme.
La preuve fournie par le Gourdon est certes compréhensible mais un peu compliquée. J'en ai trouvé une beaucoup plus simple dans le livre d'exercices de calcul diff de B El Mabsout chez Masson (c'est le bouquin d'exos qui va avec le cours d'Avez). Elle me semble même plus simple que celle proposée sur le site. Qu'en pensez-vous ? Il n'y a pas d'arnaque cachée ?
Merci
Yann
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Réponses
Tu pourrais donner une idée de cette preuve de El Mabsout ?
1) On commence par poser pour k>0, $A_k$={x$\in$ $\R$; $f^(k)$ (x)=0}. Grâce à Baire, on en déduit qu'il existe un entier p > 0 tel que l'intérieur de $A_p$ soit non vide. Puis que pour n >=p, l'intérieur de $A_n$ est lui aussi non vide. De plus, la suite ($A_p$) est croissante.
2) On pose alors F = $\R$\$\union_{i=p}^{\infty}{intérieur de $A_i$}$, et on écrit F = $\union_{k=1}^{\infty} {F inter $A_k$}$. Supposons F non vide. En utilisant Baire à nouveau, il existe un entier n>0 tel que F inter $A_n$ contirenne un ouvert U non vide. pour tt x appartenant à U, on a alors $f^(n)$(x)=0. Contradiction avec la définition de F. Donc F est vide et $\R$=$\union_{i=p}^{\infty}{intérieur de $A_i$}$.
3) [-1 ; 1] est recouvert par un nb fini des $U_i$, dc par croissance des $U_i$, il existe un k tel que [-1 ; 1] $\subset$ $U_k$... donc $f^(k)$(x)=0 pour tt x dans [-1 ; 1]. donc f coïncide avec une fonction polynome Psur [-1 ; 1]. on recommence sur [-2 ; 2], f coïncide avec une fonction polynome Q sur [-2 ; 2] , comme P-Q s'annule sur [-1 ; 1], P=Q, etc... on répète le même raisonnement sur tt intervalle [ -q ; q]. Voilà
PS : je débute en LATEX, alors peut-être certains caractères ne passeront pas, mais si un modérateur veut bien corriger.
Merci
Yann
Oui c'est bien ça, utilisation par 2 fois de Baire.
1) On commence par poser pour $k>0$, $A_k={x \in \R \, ; \, f^{(k)} (x)=0}$. Grâce à Baire, on en déduit qu'il existe un entier p > 0 tel que l'intérieur de $A_p$ soit non vide. Puis que pour $n \geq p$, l'intérieur de $A_n$ est lui aussi non vide. De plus, la suite $(A_p)$ est croissante.
2) On pose alors $F = \R \cup \bigcup_{i=p}^{\infty} \tilde{A_i}$, et on écrit $F = \bigcup_{k=1}^{\infty} (F \cap A_k)$. Supposons $F$ non vide. En utilisant Baire à nouveau, il existe un entier $n>0$ tel que $F \cap A_n$ contirenne un ouvert $U$ non vide. pour tt $x$ appartenant à $U$, on a alors $f^{(n)}(x)=0$. Contradiction avec la définition de $F$. Donc $F$ est vide et $\R = \bigcup_{i=p}^{\infty} \tilde{A_i}$.
3) $[-1 ; 1]$ est recouvert par un nb fini des $U_i$, dc par croissance des $U_i$, il existe un $k$ tel que $[-1 ; 1] \subset U_k$... donc $f^{(k)}(x)=0$ pour tt $x$ dans $[-1 ; 1]$. donc $f$ coïncide avec une fonction polynome $P$ sur $[-1 ; 1]$. on recommence sur $[-2 ; 2]$, $f$ coïncide avec une fonction polynome $Q$ sur $[-2 ; 2]$ , comme $P-Q$ s'annule sur $[-1 ; 1]$, $P=Q$, etc... on répète le même raisonnement sur tt intervalle $[ -q ; q]$. Voilà.
PS : je débute en LATEX, alors peut-être certains caractères ne passeront pas, mais si un modérateur veut bien corriger.
Merci
Yann
NdT : j'ai oublié comment on fait l'intérieur, j'ai noté $\tilde{A}$...
Juste au début du 2) c'est F = $\r$ \ $\union_{i=p}^{\infty} {Ã_i}$ bien sûr...
Tu veux dire : $F = \R \setminus \bigcup\limits_{i=p}^{\infty} {Ã_i}$
1°)la preuve de GOurdon semble n'utiliser qu'une seule fois le th. de Baire?
2°)Dans le 1°) de la démo de Yann peut on se passer de Rolle comme dans le Gourdon, pour montrer qu'à partir du rang p les An sont d'intérieurs non vides et constituent une suite croissante (Baire ne permet que d'exhiber un Ap d'intérieur non vide)?
sinon dans le 3) les $U_i$ représentent l'intérieur des$A_i$.
Gourdon me semble parfois adopter le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", comme avec la preuve du th de l'application ouverte, bien plus claire dans le Brézis...
Sinon, pour Eric : je pense que la preuve du El Mabsout doit être identique à celle de Boas dont tu parles...
Bonnes révisions à tous
Yann
Gourdon me semble parfois adopter le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", comme avec la preuve du th de l'application ouverte, bien plus claire dans le Brézis...
Sinon, pour Eric : je pense que la preuve du El Mabsout doit être identique à celle de Boas dont tu parles...
Bonnes révisions à tous
Yann
L'avantage par rapport au Gourdon c'est qu'on la mémorise facilement.
Maintenant la démo du Gourdon est applicable dans des leçons où il y a du Rolle etc. Mais perso je ne prendrais pas le risque de la présenter. D'ailleurs à coup sûr un membre du jury risque de demander "n'y a-t-il pas plus simple ?"
Bonne chance pour les oraux.
il faut indiquer pour obtenir la contradiction que n>=p - sinon pas de contradiction- ce qui est toujours possible (la suite (intérieurs de Ak) est croissante). Autre solution : prendre pour indice p en 1) le plus petit k tel que l'intérieur de Ak soit non vide.
<BR>
<BR>Voir aussi <a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=103643&t=103179#reply_103643"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=103643&t=103179#reply_103643</a>
<BR>
<BR>VK<BR>
pour l'agrégation de Yann, c'est sans doute un peu tard, mais ça pourra en intéresser d'autres... Il me semble que la preuve d'El Mabsout citée ci-dessus contient une erreur (et je viens de vérifier qu'elle est aussi dans le bouquin). En revanche celle de Boas donnée ici (citée sur une autre page du forum) est correcte (mais rédigée de façon trop concise pour une leçon d'agreg ; la version du livre est un tout petit peu plus développée mais à reprendre légèrement pour la rendre plus formelle).
Le problème est au point 2) : F est fermé donc complet, on peut bien lui appliquer le théorème de Baire, mais celui-ci permet de conclure qu'il existe $n$ tel que $F\cap A_n$ contient un ouvert non vide... de la topologie induite sur $F$ ! Ainsi, tout ce qu'on sait c'est qu'il existe un intervalle ouvert $J$ tel que $F\cap J$ n'est pas vide et $F\cap J\subset F\cap A_n$. Et non pas un intervalle ouvert inclus dans $F\cap A_n$. La preuve s'en trouve un peu rallongée. Notamment, il faut montrer que $F$ est parfait (i.e. fermé (ok) et sans point isolé) pour conclure que non seulement $f^{(n)}(x)=0$ pour $x\in F\cap A_n$ mais aussi $f^{(m)}(x)=0$ pour tout $m\geq n$, de façon à pouvoir dire ensuite : sur chaque composante connexe $I$ de $F^c\cap J$, $f^{(m)}(x)=0$ pour un certain $m$, et à une extrêmité $a(\in F\cap J\subset A_n)$ de $I$ on a $f^{(n)}(a)=f^{(n+1)}(a)=\cdots=0$, donc en dérivant ou en intégrant (à partir de $a$) on a bien $f^{(n)}(x)=0$ pour tout $x\in I$.
Si j'étais (à Dieu ne plaise) membre du jury de l'agrégation, à un candidat ayant exposé le théorème de Sunyer y Balaguer, je ne pourrais pas m'empêcher de demander "vous avez quelques applications du théorème de Sunyer y Balaguer ?". (:D
Bien cordialement.
Pourquoi faudrait-il que tout s'applique? Le th de SB est DEJA une "zolie??" petite conséquence de Baire (directe et simple** corollaire, si on admet la culture étudiante que tout le monde sait ce qu'est la continuité, dérivabilité, etc), et faudrait en plus appliquer un truc deja "appliqué"??? X:-(
[size=x-small]** le point important (c'est un cas particulier de Baire avec la réunion des fermés $F_n:=\{x/f^{(n)}(x)=0 \}$) est qu'il existe un ouvert $U$ et un entier n tel que la restriction de $f^{(n)}$ à $U$ est nulle et donc tels que $f/U$ est la restriction d'un polynôme à $U$, le reste étant du "recollement".[/size]
J'ai plutôt l'impression que ce qui peut éventuellement intéresser les gens, ce sont les rédactions liées aux phénomènes de recollement dans les maths, toujours un peu "chieries" et dont certaines concernent l'enseignement secondaire.
Cher c. c.,
Peux-tu m'expliquer (en moins de 1000 lignes, si possible) la différence entre "à Dieu ne plaise" et "Dieu m'en garde" ?
S'il faut que le théorème de Baire se justifie par ses applications, je ne voie pas pourquoi le théorème de Sunyer y Balaguer ne devrait pas se justifier par ses applications (à un th. de Baire, par exemple !). Après tout, Baire est plus célèbre que Sunyer y Balaguer ! Avec ces noms espagnols, on ne sait jamais si l'on a affaire à une plusieurs personnes.
Quant à la manie de dire "ça s'applique à ceci ou cela", c'est pratiquement une obligation depuis pas mal d'années. Je ne critique pas trop, parce qu'il arrive qu'un article soit sans intérêt mais que les applications suggérées soient à mourir de rire. On n'a moins l'impression d'avoir lu pour rien ... J'aime beaucoup l'humour involontaire.
Bien cordialement.
Merci.
Bien cordialement.