carrés dans Fp
dans Les-mathématiques
Bonjour,
j'ai un petit problème en algèbre. Soit p un nombre premier impair. Il s'agit de déterminer le nombre de carrés dans Fp ( = Z/pZ) i.e le nombre d'éléments de la forme x², où x est dans Fp.
On considère le morphisme de groupe multiplicatif f : (Fp)* -> (Fp)*, x->x² (on sait que c'est un morphisme en utilisant la commutativité de Fp avec Wedderburn). On s'intéresse au noyau, car le quotient (Fp)*/Kerf est isomorphe à Imf, l'ensemble des carrés.
Or, Kerf est l'ensemble des x dans (Fp)* tels que x²=1. On sait que 1 et -1 sont dans Kerf, car p différent de 2. C'est là que le problème arrive: chaque élement de Kerf est d'ordre au plus 2. Est-ce qu'on peut en déduire que Kerf a au plus deux éléments (i;e en utilisant seulement les groupes) et que donc, Kerf={-1,1}, ou alors est-ce qu'on doit dire qu'un polynôme de degré 2 a au plus deux racines (on est dans un corps), et puisqu'on en a déjà deux, c'est bon.
Enfin, dans les deux cas on en déduit qu'il y a exactement (p-1)/2 carrés dans Fp.
Merci d'avance, Pierre.
j'ai un petit problème en algèbre. Soit p un nombre premier impair. Il s'agit de déterminer le nombre de carrés dans Fp ( = Z/pZ) i.e le nombre d'éléments de la forme x², où x est dans Fp.
On considère le morphisme de groupe multiplicatif f : (Fp)* -> (Fp)*, x->x² (on sait que c'est un morphisme en utilisant la commutativité de Fp avec Wedderburn). On s'intéresse au noyau, car le quotient (Fp)*/Kerf est isomorphe à Imf, l'ensemble des carrés.
Or, Kerf est l'ensemble des x dans (Fp)* tels que x²=1. On sait que 1 et -1 sont dans Kerf, car p différent de 2. C'est là que le problème arrive: chaque élement de Kerf est d'ordre au plus 2. Est-ce qu'on peut en déduire que Kerf a au plus deux éléments (i;e en utilisant seulement les groupes) et que donc, Kerf={-1,1}, ou alors est-ce qu'on doit dire qu'un polynôme de degré 2 a au plus deux racines (on est dans un corps), et puisqu'on en a déjà deux, c'est bon.
Enfin, dans les deux cas on en déduit qu'il y a exactement (p-1)/2 carrés dans Fp.
Merci d'avance, Pierre.
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Réponses
A vue de nez ton raisonnement est tout ce qu'il y a de plus correct, mais bon mieux vaut attendre l'avis d'un spécialiste.
Par contre tu n'as pas besoin de Wedderburn pour savoir que $\mathcal{F}_p$ est commutatif !
en effet, tu as raison, Fp est commutatif par construction.
En fait, j'ai fait deux raisonnements, et je ne comprends plus très bien pourquoi peut-on dire que kerf est d'ordre inférieur ou égal à deux car tous ses éléments le sont. J'ai fait ça en début d'année, mais maintenant, ce résultat me semble faux.
Plus généralement, si G est un groupe abélien d'ordre pair, et si H, sous groupe de G, est l'ensemble des x dans G tels que x²=1, est-ce que H est d'ordre inférieur ou égal à deux?
Ici en fait, je pense qu'on ne peut pas échapper à l'argument des racines. Mais, attendons de voir les spécialistes.
Pierre.
Cela dit comme on sait que $(\mathcal{F}_p)^*$ est cyclique, je pense qu'il ne peut pas y avoir plus d'un élément d'ordre 2. Mais ce résultat est plutôt du genre difficile il me semble, et donc ton argument de racines doit faire très bien l'affaire.
Merci pour ton aide.
Pierre.
ne pas oublier que Fp est un corps (commutatif)..
donc l'equation X²-1=0 a pour seuls zeros 1 et -1 ( on a supposé p impair donc on a bien 2 zeros distincts).
Oump.
es-tu sûr que l'exemple de F_2[X] est bon quand tu dis que tous les éléments vérifient x²=1?
Le carré de X, c'est X² pas 1. Par contre, grâce au morphisme de Frobénius, on sait que x->x² est l'identité sur F_2, et l'identité, ce n'est pas 1. Est-ce qu'il y a qqch qui m'échappe?
Il me semble que pour avoir x^2 = 1, il faut se placer dans F_3, mais là, on ne parle plus de polynôme. Qu'en penses-tu?
Pierre.
Oui au sujet de $F_2[X] $ j'ai failli tomber dans le même piège que toi :
ce qu'on note 1 dans $x^2 =1$ c'est l'élément neutre du groupe dont la loi est notée multiplicativement.
Quand ce groupe est additif ici $F_2[X] $ l'élément neutre est noté 0 , le produit est noté "+" et donc comme 1+1 = 0 il est bien vrai que tous les éléments du groupe additif $F_2[X] $ sont d'ordre 1 ou 2 sans que pour cela le groupe soit de cardinal 2 .
Si tu veux un exemple simple en multiplicatif tu prend (-1,1) avec le produit et tu considères (-1,1)^N où N = les entiers naturels, le neutre c'est (1,1....1,....) .
Bien cordialement,
lolo
en effet, je suis tombé dans le panneau! Je n'ai même pas pensé à la loi additive, la honte.
En tout cas, merci beaucoup de votre aide.
Pierre.
mais 1=1²=2² mais t'as oublier le zéro. donc (p+1)/2
de toutes facon le groupe multiplicatif de Fp est cyclique donc il ne peux y avoir plus d'elements d'ordre 2 ( enfin c'est un argument détourner )
normalement on peux généraliser sans trop de probléme .
sinon tu peux continuer ton probleme en te demandant si je prend a app Fp est ce que c'est un carrée
si c'est un carrée l'eqation x²-a=0 a une solution dans Fp c'est a dire que
X²-a est reductible dans Fp c'est aq dire que
Fp[X]/(X²-a) n'est pas un corps
autrement dit
Z[X]/(p,X²-a) n'est pas un corps ou a est un relevement de a que je note encore a
c'est a dire que p est pas premier dans Z[SQRT(a)] je pense qu'il y a equivalence ,il faut peux etre faire gaffe avec les irrécdutibles et premiers
faudrait faire un petit raisonnement pour montrer que ca coincide
jolie non ?
Pour $p$ premier impair, $a\in (F_p)^\times$ est un carré si et seulement si
$a^{(p-1)/2}=1$. Voir le symbole de Legendre et la belle loi de réciprocité quadratique de Gauss.
Amicalement
-1 est un carrée dans Fp ssi p=4k+1
ddans se cas p est réductible dans Z[ i]=(Z[X]/(x²+1))
c'est a dire p=ab on prend la norme au carrre
p²=N(a)*N(b)
donc p=N(a)=x²+y² cqfd
enfin il faut montrer que premier et irréductible coincide dans Z je pense qu'il est euclidien donc c'est bon ....
Ton problème c'est donc de déterminer le nombre de carrés (non nuls) du corps Fp (p premier impair).
Tout d'abord, il est inutile d'invoquer le théorème de Wedderburn, pour affirmer que Fp est commutatif; il l'est par construction! Tout quotient d'un anneau commutatif unitaire est commutatif unitaire. Or Fp n'est autre que l'anneau quotient Z/pZ. Celui-ci est un corps vu que p est premier.
A présent comme le corps Fp est commutatif (i.e le groupe multiplicatif Fp-{0} est commutatif) l'application f : Fp-{0} -> Fp-{0} définie par f(x)= x² est un morphisme de groupes dont l'image est exactement l'ensemble des carrés non nuls de Fp, que l'on note ((Fp)*)²; tu noteras que c'est en fait un sous-groupe de (Fp)* vu que c'est l'image par un morphisme. Intéressons nous au noyau Ker(f). x est dans Ker(f) si et seulement si
f(x)=1 i.e si et seulement si x² =1 c'est-à-dire x²-1 = 0 or x²-1= (x+1)(x-1) ( la formule a²- b²= (a+b)(a-b) n'est valable que si a et b commutent, en particulier c'est le cas si l'anneau est commutatif, ici c'est le cas puisque 1 et x commutent). or (x+1)(x-1)=0 si et seulement si x+1 =0 ou x-1=0 puisque Fp étant un corps, il est donc intègre. par suite x est dans Ker(f) si et seulement si x= 1 ou -1 or -1 est différent de 1 ( en effet
-1=1 équivaut à 2=0 ce qui est impossible puisque cela signifie que p divise 2 or p est premier impair).
Par le premier théorème d'isomorphisme (Fp)*/Ker(f) iso à ((Fp)*)² , en passant au ordre, il vient:
(p-1)/2 = card((Fp)*)² , il y a donc (p-1)/2 carrés non nuls (tu remarqueras que (p-1)/2 est un entier vu que est premier impair).
D'autres questions, je reste à ta disposition
Bon courage
Comment traiter le cas général dans Z / n Z anneau ? Existe t-il des carrées ? CNS ? on pourra utiliser le symbole de Legendre et ou de Lagrange .
Merci d'Avance