carrés dans Fp

je crois qu'on peut se passer du raisonnement basé sur d'ordre, en effet x²=1 mod p implique que p divise a²-1=(a-1)(a+1) où a est un representant quelconque de x dans Z, comme p est premier alors il divise ou bien a+1 ou bien a-1 donc x=1 ou -1.

Bonjour,

ne pas oublier que Fp est un corps (commutatif)..
donc l'equation X²-1=0 a pour seuls zeros 1 et -1 ( on a supposé p impair donc on a bien 2 zeros distincts).

Oump.

Pour Pierre,

Oui au sujet de $F_2[X] $ j'ai failli tomber dans le même piège que toi :
ce qu'on note 1 dans $x^2 =1$ c'est l'élément neutre du groupe dont la loi est notée multiplicativement.
Quand ce groupe est additif ici $F_2[X] $ l'élément neutre est noté 0 , le produit est noté "+" et donc comme 1+1 = 0 il est bien vrai que tous les éléments du groupe additif $F_2[X] $ sont d'ordre 1 ou 2 sans que pour cela le groupe soit de cardinal 2 .
Si tu veux un exemple simple en multiplicatif tu prend (-1,1) avec le produit et tu considères (-1,1)^N où N = les entiers naturels, le neutre c'est (1,1....1,....) .

Bien cordialement,
lolo

par exemple F3 ca donne (3-1)/2=1
mais 1=1²=2² mais t'as oublier le zéro. donc (p+1)/2
de toutes facon le groupe multiplicatif de Fp est cyclique donc il ne peux y avoir plus d'elements d'ordre 2 ( enfin c'est un argument détourner )
normalement on peux généraliser sans trop de probléme .

sinon tu peux continuer ton probleme en te demandant si je prend a app Fp est ce que c'est un carrée

si c'est un carrée l'eqation x²-a=0 a une solution dans Fp c'est a dire que
X²-a est reductible dans Fp c'est aq dire que

Fp[X]/(X²-a) n'est pas un corps
autrement dit

Z[X]/(p,X²-a) n'est pas un corps ou a est un relevement de a que je note encore a

c'est a dire que p est pas premier dans Z[SQRT(a)] je pense qu'il y a equivalence ,il faut peux etre faire gaffe avec les irrécdutibles et premiers
faudrait faire un petit raisonnement pour montrer que ca coincide
jolie non ?

Bonjour,

Pour $p$ premier impair, $a\in (F_p)^\times$ est un carré si et seulement si

$a^{(p-1)/2}=1$. Voir le symbole de Legendre et la belle loi de réciprocité quadratique de Gauss.

Amicalement

Bonjour,

Ton problème c'est donc de déterminer le nombre de carrés (non nuls) du corps Fp (p premier impair).
Tout d'abord, il est inutile d'invoquer le théorème de Wedderburn, pour affirmer que Fp est commutatif; il l'est par construction! Tout quotient d'un anneau commutatif unitaire est commutatif unitaire. Or Fp n'est autre que l'anneau quotient Z/pZ. Celui-ci est un corps vu que p est premier.
A présent comme le corps Fp est commutatif (i.e le groupe multiplicatif Fp-{0} est commutatif) l'application f : Fp-{0} -> Fp-{0} définie par f(x)= x² est un morphisme de groupes dont l'image est exactement l'ensemble des carrés non nuls de Fp, que l'on note ((Fp)*)²; tu noteras que c'est en fait un sous-groupe de (Fp)* vu que c'est l'image par un morphisme. Intéressons nous au noyau Ker(f). x est dans Ker(f) si et seulement si
f(x)=1 i.e si et seulement si x² =1 c'est-à-dire x²-1 = 0 or x²-1= (x+1)(x-1) ( la formule a²- b²= (a+b)(a-b) n'est valable que si a et b commutent, en particulier c'est le cas si l'anneau est commutatif, ici c'est le cas puisque 1 et x commutent). or (x+1)(x-1)=0 si et seulement si x+1 =0 ou x-1=0 puisque Fp étant un corps, il est donc intègre. par suite x est dans Ker(f) si et seulement si x= 1 ou -1 or -1 est différent de 1 ( en effet
-1=1 équivaut à 2=0 ce qui est impossible puisque cela signifie que p divise 2 or p est premier impair).
Par le premier théorème d'isomorphisme (Fp)*/Ker(f) iso à ((Fp)*)² , en passant au ordre, il vient:
(p-1)/2 = card((Fp)*)² , il y a donc (p-1)/2 carrés non nuls (tu remarqueras que (p-1)/2 est un entier vu que est premier impair).
D'autres questions, je reste à ta disposition

Bon courage