Loi Gamma et loi normale

Kuja · June 2005

Bonjour à tous,

pour mes recherches, je suis tombé sur un résultat dans une thèse (et que je ne trouve pas ailleurs) qui me dit qu'une loi $\Gamma(a,b)$ est égale à

$$ab \left( \xi \sqrt{\frac{1}{9a}} + 1- \frac{1}{9a} \right)^3$$

où $\xi$ est une normale centrée réduite.
Je dois avouer que je ne réussis pas à retrouver ce résultat, et j'aurais même tendance à dire qu'il n'est pas rigoureusement exact (cependant j'ai fait des simulations et ça marche très bien il faut l'avouer) étant donnés les supports différents de ces deux lois.

Quelqu'un aurait-il une référence (ou une preuve directe, c'est mieux !) pour ce résultat ?

Amicalement,

Oscar · June 2005

C'est bizarre en effet, car ta formule peut donner un résultat négatif apparemment, alors qu'une variable aléatoire de loi gamma est toujours positive.

Richard André-Jeannin1 · June 2005

Il doit s'agir d'une approximation. Je regarderai demain (pas de doc sous la main).

Kuja · June 2005

Oui il s'agit bien d'une approximation.
Je me suis 'amusé' à comparer les écarts entre la moyenne et la variance de la Gamma et de cette approximation. Ces écarts sont faibles et diminuent lorsque le paramètre a augmente (diminution en a^2).

Mais après de longues et difficiles recherches, j'ai trouvé que cette approximation s'appelle la transformation de "Wilson-Hilferty" et date de 1931. Pour ceux que ça intéresse, il existe d'autres transformations, notamment un polynôme d'ordre 2 en gaussienne pour approcher une Gamma.

Amicalement,

GERARD5 · June 2005

Résultat intéressant. Merci !

Richard André-Jeannin2 · June 2005

ON trouve un résultat voisin dans Manoukian "guide de stat appliquée":
Si Qn est une loi du khi-deux à n degrés de liberté, alors la v.a.
[Q(n)/n]^(1/3) est distribuée, quand n tend vers +00, selon une loi normale de moyenne1-2/(9n) et de variance 2/(9n). En interprétant Qn comme un cas particulier de loi gamma, on doit obtenir le même résultat.

Kuja · June 2005

Bonjour RAJ,

Oui en effet c'est le même résultat. Je vois juste un détail qui diffère : le résultat de Manoukian est asymptotique, mais il ne dit pas s'il est toujours raisonnable quand n est petit. J'ai constaté de mon côté que l'approximation était vraiment excellent si a est plus grand que 1 (et évidemment ton résultat montre qu'elle est meilleure au fur et à mesure que a augmente).

Amicalement,

Richard André-Jeannin1 · June 2005

Bonsoir Kuja. Manoukian donne des condditions d'application, mais comme je suis de retour chez moi, je n'ai plus le livre sous la main. Il signale que cette approximation est meilleure que l'approximation usuelle de la loi du chi-deux, qui est généralement donnée dans les livres.

Kuja · June 2005

Si cela ne te dérange pas, je serais intéressé de récupérer les conditions d'application et, si elle est fournie, une preuve (ou une esquisse).
Je n'ai réussi à traiter que la partie qui 'moralement' me dérangeait le plus, à savoir le support de ce polynôme de gausssienne. J'ai réussi à obtenir une majoration (que je trouve orgueilleusement plutôt bonne) de la proba que le polynôme soit négatif et qui montre que cette proba devient vite négligeable quand a n'est pas trop petit.
Enfin, vu le mal que j'ai eu à obtenir des références là-dessus, je trouve étrange que cette approximation ne soit pas mentionnée plus souvent étant données sa simplicité et sa qualité.

Amicalement,

Richard André-Jeannin1 · June 2005

Le Manoukian est un formulaire qui ne donne aucune démonstration. Je regarderai les conditions demain, mais, il s'agit sans doûte d'une condition vague, du genre "n>=50".

Kuja · June 2005

Merci RAJ. Je ne connais pas le Manoukian, donc je ne pouvais deviner. Tant pis pour la preuve, je vais continuer de chercher !
Sinon pour la condition, je suis toujours intéressé même si maintenant que tu m'as dit ce qu'était ce livre, je crains comme toi que la condition soit vague.
Le genre "n >= 50" servirait peu, étant donné que pour ce niveau de n le TCL marche déjà ...

Richard André-Jeannin2 · June 2005

Manoukian préconise n>30.

Kuja · June 2005

Merci pour la précision RAJ.

lajmi fatma · February 2011

salut pour tous
SVP kuja & RAJ
est ce que vous pouvez m'envoyez des documents intéressants a propos ce sujet
je cherche un thème a mon mastére qui est relié au statistique email : flajmi@yahoo.fr
merci

Loi Gamma et loi normale

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