Oral de l'X 2004

s'annule 4 fois sur quel intervalle ???

merci

Il n'y a qu'a montrer que f+f'' prend 4 fois la même valeur (sur un intervalle de longueur 2Pi) et appliquer Rolle... Mais bon, on n'est pas beaucoup plus avancé.

Quelques précisions:
Il faut que Phi s'annule quatre fois sur R (tel qu'était posé l'énoncé)
Je me souviens de quelques indices que me balançait l'examinateur :
Ecrire f sous forme d'une série de Fourier, utiliser la positivité de l'intégrale pour le premier coefficient, trouver une incohérence...
il fallait raisonner par l'absurde le plus souvent

Désolé c'est pas très clair, mais c'est pour ça que je fais appel à vous.

Bien sûr le fait qu'elle soit 2Pi périodique ou T périodique ne change rien au problème

et si tu montres que les coefficients de fourier de
$f+f" = a_0+a_1sin(x)+b_1cos(x)+...$ vérifient $a_0=a_1=b_1=0$. Ensuite la conclusion est classique.

Salut naos,

si tu developpes f en serie de fourier, les coeffs de $\Phi$
sont $-(n-n^3)a_n$ $(n-n^3)b_n$, qui sont donc nuls pour
$n=0$ et $n=1$.

a+

eric

En fait mon raisonnement est faux dans le cas d'une seule racine, car
le sinus s'annule 2 fois dans l'intervalle,
mais en fait par periodicité s'il y a une racine il y en a forcement
une deuxieme, et on peut alors appliquer la suite.

Par contre je viens de me rendre compte que $\int_0^{2\pi}\Phi(t)\sin(t)dt=0$ et $\int_0^{2\pi}\Phi(t)\cos(t)dt=0$ se demontre trivialement
par 2 integrations par parties, sans passer par les series de Fourier,
ce qui signifierait que le resultat reste vrai si $f$ est seulement
$C^3$, ce qui assure la continuité de $\Phi$ et la possibilité de
faire les integrations par parties dont je viens de parler.

A+

eric

Oui tu as raison. Et meme en fait je pensais a tord que pour justifier
que $\Phi$ coincide avec sa serie de Fourier on avait besoin que
f soit $C^4$ mais en fait je crois bien que $C^3$ suffit aussi si
on utilise les series de Fourier.


a+

eric

essayer de prouver que si une fonction $f$ à valeurs réelles est telle que sa série de fourier a ses $n$ premiers coefficients nuls (ceux correspondant à $1$,$sin(t)$,$cos(t)$,..,$sin(nt)$,$cos(nt)$) alors la fonction possède au moins $2n+1$ zéris sur tout intervalle de longueur $2 \pi$

Je récris en latex, car c'est illisible :

Je résume donc: Par périodicité de $f$ on a que $\Phi(t)$, $\Phi(t)\sin(t)$ et $\Phi(t)\cos(t)$ sont d'intégrales nulles sur tout intervalle de longueur $2\pi$. Pour les 2 dernière, faire 2 intégrations par parties du terme en $f'''$. Par translation on se ramène à $[0,2\pi]$ $\Phi(t)$ s'annule 1 fois sur $]0,2\pi[$ car elle est continue et d'intégrale nulle. $\Phi(2\pi)=\Phi(0)$, donc ou bien cette valeur est nulle et la fonction change de signe 2 fois sur $]0,2\pi[$ pour qu'elle puisse être d'intégrale nulle et on a fini, ou bien elle ne l'est pas mais pour la même raison qu'on vient d'invoquer elle change de signe 2 fois au moins en $x_1$ et $x_2$ dans $]0,2\pi[$ (le fait qu'elle change de signe est très important, s'annuler ne suffit pas). Il existe $a, b, c$ tel que $S(t)=a+b\cos(t)+c\sin(t)$ ne s'annule qu'en $x_1$ et $x_2$ sur $]0,2\pi[$. C'est facile à voir sur un dessin. $\cos\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)-\cos\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)$ répond à la question. Si $\Phi$ ne s'annulait qu'en $x_1$ et $x_2$ le produit $\Phi(t)S(t)$ serait de signe constant, or il est d'intégrale nulle du fait de la toute première remarque. On a une contradiction, le produit $\Phi(t)S(t)$, qui est aussi périodique de période $2\pi$ doit changer de signe au moins 2 fois, et forcément ailleurs que $x_1$ ou $x_2$ où ce produit s'annule certes, mais ne change pas de signe. On a donc bien forcement 4 zéros au moins sur tout intervalle de longueur $2\pi$. A+ Eric