groupe fondamental

Sans aucun theoreme c'est impossible a calculer bien que l'on trouve facilement ce que le resultat doit etre.
Avec la suite exacte d'un revetement f:E->B on peut le faire facilement
en considerant E=C B=C-{0} et f=exp.
Meme avec l'indice c'est dur car l'indice donne la classe d'homologie et pas sa classe d'homotopie.
Mauricio

salut,

Y'a t'il quelqu'uin qui pourrait m'expliquer c'est koi le groupe fondamentale ?

^oc^

ok pour le truc formel je pense que ca doit pas etre trés tres compliqué
si l'espace est connexe , normalement le cardinal du groupe(quotient ) represente le "nombre de trous" (c'est peux etre pas egal mais ca doit pouvoir se deduire ) dans la connexe ?non?
et le groupe fondamentale permet t'il d'avoir d'autre renseignement sur la nature topologique de X ?
une derniere question c'est si l'espace topolologique est une variéte differentiable (j'y connais rien mais je sais un peu pres a koi ca ressemble)
est ce que les forme differentielles on un rapport avec le groupe fondamentale ,enfin plutot le lien entre forme exact et fermée?a mon avis oui mais bon c'est juste une intuition

^oc^

... pour compléter ce que dit Pilz, lorsque X est connexe par arcs, ses groupes fondamentaux sont isomorphes : on parle donc "du" groupe fondamental.

Oc pose des questions intéressantes. En effet le groupe fondamental compte le nombre de trous dans l'espace topologique, mais la relation n'est pas aussi "straightforward" que tu sembles le penser : on a pas nombre de trous = cardinal du g.f. ; par exemple ça voudrait dire que le g.f. d'un espace simplement connexe (un disque mettons) est de cardinal 0 ?

En fait le groupe fondamental est presque toujours infini (sauf quand il est trivial) ; par exemple pour $\C \setminus \{ 0 \}$ (où $S^1$, ça revient au même comme l'a dit Pilz) le groupe fondamental est isomorphe à $\Z$. Pour le tore $\mathbb{T}^2 = S^1 \times S^1$ il vaut, je te le donne en mille, $\Z^2$. Mais très souvent il n'est pas commutatif.

Quant aux formes fermées et exactes, c'est plutôt un truc d'homologie. En fait c'est précisément ce qui sert à définir la cohomologie de de Rham, i.e. le quotient des formes fermées par les formes exactes, et puis le théorème de dualité de Poincaré (là j'y connais rien) donne des isomorphismes entre groupes d'homologie et groupes de cohomologie...

Et le premier groupe d'homologie $H_1$ a un rapport avec le groupe fondamental $\pi_1$, au moins dans le cas d'un espace connexe par arcs, on a que $H_1$ est l'abéliansé de $\pi_1$. Ca se sent un peu mais bon je serais bien sûr incapable de faire la démo (quoique pour une fois je vois comment définir un morphisme de $\pi_1$ vers $H_1$).

$S^1 \times S^1$ c'est un peu dur à voir comme ça, mais en fait c'est simplement le tore : tu fais tourner un cercle autour d'un autre cercle.

Pour le groupe fondamental de $\C \setminus \{ 0 \}$, il y a effectivement les lacets homotopes à un lacet constant et les lacets qui font un tour, mais aussi ceux qui font deux tours, et trois tours, etc. Sans parler de ceux qui font un tour dans le sens antitrigonométrique

En fait il faut voir que pour tout $n \in \Z$ tu peux définir le lacet $\gamma_n$ par $\gamma_n(t)=e^{int}$ pour $t \in [0,1]$. Il faut montrer deux choses : que $\gamma_n$ n'est pas homotope à $\gamma_{n'}$ si $n \neq n'$ (donc le g.f. contient $\Z$), et ensuite que tout lacet est isomorphe à un certain $\gamma_n$ (donc le g.f. est contenu dans $\Z$) et c'est l'analyse complexe qui nous donne ce $n$, via une définition intégrale de l'indice.

Pour l'homologie c'est une longue histoire.. là j'ai la flemme mais tu peux regarder un cours ou même l'article de la wikipedia in english, et sinon je repasserai plus tard.

Merci Airy

En fait j'avais pas vraiment réfléchi et je me basse sur une fausse interprétation du résultat sur le changement de paramétrage ... c'est bon j'ai compris

Donc S1xS1 c'est un tore (un beignet) donc je vois mieux comment ça fonctionne on prend un petit cercle et un grand cercle donc Z*Z
(j'adore mon argumentation).

Faudrait que j'arrive a formaliser un peu tout ça est essayer de trouver quelques théorèmes généraux pour calculer les groupes fondamentaux

Encore merci j'ai pas perdu ma journée

^oc^

Noter aussi que $P_3(\R)$ est homeomorphe a $SO(3,\R)$. Le $\pi_1$ est le groupe a deux elements...

je passe mercredi l’examen sur la topologie algébrique ,quelqu'un pourrait donner la méthode pour trouver le groupe fondamentale??
cordialement
sabri

Et zou! sabri sabré par Zo!

Bonjour,
Un outil qui est utile pour calculer des groupes fondamentaux est le théorème de Van Kampen.
Ce dernier permet de connaitre le groupe fondamental d'une union d'espaces connexes par arcs dont l'intersection est connexe par arc.

Cordialement,

Climu