Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
216 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

répartition uniforme sur sphère

Envoyé par momou 
momou
répartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Est-ce que quelqu'un connait un algorithme de répartition uniforme de points sur une sphère (et de façon générale sur une surface quelconque)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit années et a été effectuée par AD.
GERARD
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Il y a un article là dessus sur une revue française récente ("Science et vie", je pense; Ou "Pour la science", je ne pense pas en avoir lue une autre dernièrement).
Guillaume
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Lancer une loi gaussienne centree reduite dans R^3 puis renormaliser.
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Et tirer de manière uniforme sur ]0,pi[ x [0,2pi[ pour la sphère ?
Sigma
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Kuja ce que tu proposes paraît intuitivement juste, mais me semble faux, parce qu'à mon avec avec cette méthode tu as plus de points autour des pôles que de l'équateur.

Sur une "bande" faisant le tour de la sphère de même largeur tu as autant de point au pôle qu'autour de l'équateur alors qu'elles sont d'aires différentes.

Quelqu'un est d'accord ou dis-je n'importe quoi?

Sinon, pour résoudre l'exercice, il n'y a pas 36 solutions mais bel et bien un calcul de proba qui seul pourra révéler une bonne loi par méthode de fonction muette.

@+
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
D'accord avec toi, mais il me semble qu'il "suffit" de mettre une densité non uniforme sur [0,Pi] (je pense quelque chose en sinus phi renormalisé).
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Bonsoir,

oui oui, j'ai (une fois de plus) parlé trop vite. Il suffit d'écrire l'élément de surface de la sphère dS=R² sin(phi) d(theta)d(phi) et de diviser par l'aire totale 4*pi*R². La densité est alors f(phi,theta)=sin(phi)/(4*pi) I( 0 < phi < pi) * I( 0 <= theta < 2*pi). Là il me semble que c'est bon.

ps : sans LaTeX c'est difficile...
Cédric par loggé
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Plus "simplement", ça ne marche pas en tirant dans [-1,1]^3 et en supprimant les solution de norme plus grande que 1 ?
De cette manière ce devrait etre homogène non ?
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Bonjour Cédric,

dans ton exemple ça répartit les points dans la sphère et non sur la sphère comme demandé.

Amicalement,
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
au temps pour moi !

en effet avec les surface élémentaires, ça doit donner une solution comme le fait Kuja! En tous cas, en physique j'aurais fait comme ça :)

Sinon une question naïve, comment faire un tirage aléatoire avec des zones "privilégiées". Pour des valeurs discretes ça ne doit pas etre dur, mais pour des données continues... comment faire, intuitivement je chercherais une fonction qui associe à notre intervalle de départ un autre intervalle "étiré" par endroits (une analogie avec les changement de paramétrage en géométrie, lorsqu'on cherche la longueur d'une courbe par exemple...). J'espère que ce n'est pas trop illisible et que vous pourrez me dire si une telle chose est possible...

@+
GPP29
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Bonjour,

Les réponses proposées jusqu'ici au problème posé par momou me semblent privilégier une interprétation particulière de l'énoncé : trouver une façon de tirer aléatoirement des points sur une sphère, avec une probabilité uniforme, en prenant l'unité de surface comme base de la mesure sous jacente.

Pour ma part, une autre lecture me semble possible : placer n points sur une sphère, de façon que leur distribution soit uniforme (dans un certain sens).

Par exemple, on peut vouloir placer n points à la surface d'une sphère, de façon que la plus petite des distances entre deux points quelconques soit la plus grande possibles.

Avec une telle définition on trouve :
- pour n = 2 ==> deux poles opposés
- pour n = 3 ==> trois sommets d'un triangle équilatéral dans un plan méridien
- pour n = 4 ==> les quatre sommets d'un tétraèdre régulier

Lorsque n n'est pas le nombre de sommets d'un polyèdre régulier, la solution est beaucoup moins évidente.

Quelle est la bonne lecture de l'énoncé ?
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Bonjour,

Très récemment, ce problème a été résolu par une équipe de chercheurs. La solution était recherchée pour une société d'armement je crois (conception de radars). C'est le pointillisme. L'article se trouve dans le dernier Science Et Vie (juillet 05).

La solution consiste (en gros) a utiliser une force répulsive fictive qui dépend d'un paramètre et qui fait que seuls les points proche interagissent (donc le point de l'autre coté de la sphère n'agit pas sur le placement de l'autre). Je te conseille la lecture de l'article, il est très instructif.

Cordialement
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
avatar
Héhé GPP29

Ton idée est magnifique je trouve.

Ca me mine le moral de la journée qu'il n'y ait que 5 polyhèdres réguliers...

Y'a pas un moyen de continuer quand meme ?
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
Bonsoir,

en effet GPP29 j'ai la très mauvais habitude de toujours interpréter le mot "uniforme" d'un point de vue probabiliste quand rien n'est particulièrement précisé dans l'énoncé.

A en croire le post de naos, je pense que c'est ton interprétation qui est la bonne et la réponse est alors loin d'être évidente d'après ce que vous en dites tous les deux. Cependant, il y aura au moins la réponse pour l'interprétation "probabiliste" pour ceux que ça intéresserait !

Amicalement,
koniev
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
En effet Science et vie du mois de juillet donne un bon article sur le pb de la réartition uniforme de points sur une surface comme la sphère, le tore,...
pb qui a retenu les matheux depuis des millénaires et qui a des applications pratiques.
Cordialement
Koniev
Sigma
Re: repartition uniforme sur sphère
il y a quatorze années
<latex> GPP29 c'était mon sujet de TIPE au concours!!!!

En fait ton problème de répartition de point sur une sphère est très compliqué cela revient à optimiser comme tu dis :

"Par exemple, on peut vouloir placer n points à la surface d'une sphère, de façon que la plus petite des distances entre deux points quelconques soit la plus grande possible."

En fait en terme matheux, cela reviens à maximiser la fonction de $n$ points de l'espace :

$$
\phi((M_i)_{i \in [1,n]})=\min_{(i,j) \in [1,n]^2} ||\overrightarrow M_i M_j ||
$$
Sous la contrainte :

$$
\forall i \in [1,n], ||\overrightarrow OM_i||=1
$$

Deux résultats essentiels :

- cela ne dépend pas de la distance choisi, qu'elle soit euclidienne ou géodésique
- on connait les solutions exactes pour $n \in [1,12]$ et $n=24$ (les démonstrations sont lourde, c'est 30 pages de trigonométrie sphérique pour certaine valeur de $n$.


Mon approche aussi était de faire un tirage de Monte Carlo : tirer $m$ fois un ensemble de $n$ points de la sphère unité et garder la meileur répartition au sens ci dessus. J'avais choisi la méthode de choix aléatoire de Cédric qui est incorrecte comme ça a été dit ici.

@+
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 133 712, Messages: 1 286 895, Utilisateurs: 23 097.
Notre dernier utilisateur inscrit Philippe_1.


Ce forum
Discussions: 37 177, Messages: 277 936.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page