répartition uniforme sur sphère

Lancer une loi gaussienne centree reduite dans R^3 puis renormaliser.

Kuja ce que tu proposes paraît intuitivement juste, mais me semble faux, parce qu'à mon avec avec cette méthode tu as plus de points autour des pôles que de l'équateur.

Sur une "bande" faisant le tour de la sphère de même largeur tu as autant de point au pôle qu'autour de l'équateur alors qu'elles sont d'aires différentes.

Quelqu'un est d'accord ou dis-je n'importe quoi?

Sinon, pour résoudre l'exercice, il n'y a pas 36 solutions mais bel et bien un calcul de proba qui seul pourra révéler une bonne loi par méthode de fonction muette.

@+

Bonsoir,

oui oui, j'ai (une fois de plus) parlé trop vite. Il suffit d'écrire l'élément de surface de la sphère dS=R² sin(phi) d(theta)d(phi) et de diviser par l'aire totale 4*pi*R². La densité est alors f(phi,theta)=sin(phi)/(4*pi) I( 0 < phi < pi) * I( 0 <= theta < 2*pi). Là il me semble que c'est bon.

ps : sans LaTeX c'est difficile...

bien évidemment dans [-1,1]^3 pardon...

au temps pour moi !

en effet avec les surface élémentaires, ça doit donner une solution comme le fait Kuja! En tous cas, en physique j'aurais fait comme ça

Sinon une question naïve, comment faire un tirage aléatoire avec des zones "privilégiées". Pour des valeurs discretes ça ne doit pas etre dur, mais pour des données continues... comment faire, intuitivement je chercherais une fonction qui associe à notre intervalle de départ un autre intervalle "étiré" par endroits (une analogie avec les changement de paramétrage en géométrie, lorsqu'on cherche la longueur d'une courbe par exemple...). J'espère que ce n'est pas trop illisible et que vous pourrez me dire si une telle chose est possible...

@+

Bonjour,

Très récemment, ce problème a été résolu par une équipe de chercheurs. La solution était recherchée pour une société d'armement je crois (conception de radars). C'est le pointillisme. L'article se trouve dans le dernier Science Et Vie (juillet 05).

La solution consiste (en gros) a utiliser une force répulsive fictive qui dépend d'un paramètre et qui fait que seuls les points proche interagissent (donc le point de l'autre coté de la sphère n'agit pas sur le placement de l'autre). Je te conseille la lecture de l'article, il est très instructif.

Cordialement

Bonsoir,

en effet GPP29 j'ai la très mauvais habitude de toujours interpréter le mot "uniforme" d'un point de vue probabiliste quand rien n'est particulièrement précisé dans l'énoncé.

A en croire le post de naos, je pense que c'est ton interprétation qui est la bonne et la réponse est alors loin d'être évidente d'après ce que vous en dites tous les deux. Cependant, il y aura au moins la réponse pour l'interprétation "probabiliste" pour ceux que ça intéresserait !

Amicalement,

GPP29 c'était mon sujet de TIPE au concours!!!!

En fait ton problème de répartition de point sur une sphère est très compliqué cela revient à optimiser comme tu dis :

"Par exemple, on peut vouloir placer n points à la surface d'une sphère, de façon que la plus petite des distances entre deux points quelconques soit la plus grande possible."

En fait en terme matheux, cela reviens à maximiser la fonction de $n$ points de l'espace :

$$
\phi((M_i)_{i \in [1,n]})=\min_{(i,j) \in [1,n]^2} ||\overrightarrow M_i M_j ||
$$
Sous la contrainte :

$$
\forall i \in [1,n], ||\overrightarrow OM_i||=1
$$

Deux résultats essentiels :

- cela ne dépend pas de la distance choisi, qu'elle soit euclidienne ou géodésique
- on connait les solutions exactes pour $n \in [1,12]$ et $n=24$ (les démonstrations sont lourde, c'est 30 pages de trigonométrie sphérique pour certaine valeur de $n$.


Mon approche aussi était de faire un tirage de Monte Carlo : tirer $m$ fois un ensemble de $n$ points de la sphère unité et garder la meileur répartition au sens ci dessus. J'avais choisi la méthode de choix aléatoire de Cédric qui est incorrecte comme ça a été dit ici.

@+