prolongement continu aberrant

corentin0
corentin0
dans Les-mathématiques
Bonjour;
<BR>je bloque sur un théorème de prolongement; si sp<1, on peut prolonger continument une fonction de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="61" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img1.png&quot; ALT="$ W^{s,p}(\Omega)$"></SPAN> en la posant nulle en dehors de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img2.png&quot; ALT="$ \Omega$"></SPAN>.
<BR>Ce qui me choque, c'est que pour la (semi)norme classique, les fonctions constantes sont de norme nulle, et pas le prolongement!!
<BR>Quelqu'un connaissant ce théorème pourrait il m'expliquer?<BR>

Réponses

  • garfieldalest
    garfieldalest
    N'as tu pas un probleme dans le fait de regarder une fois la semi norme et l'autre fois la norme. Est ce la norme ou la semi-norme du prolongement qui n'est pas nulle ? Peux tu ecrire l'exemple
  • corentin0
    corentin0
    Voila ce qui me gêne;
    on note 1 la fonction constante égale à 1 (!) disons sur $\R\times \R^+$.
    Il est clair que sa semi norme est nulle
    Par contre, si on la prolonge par 0 sur le reste du plan, on a
    $\displaystyle \int_{\R^+}\int_{\R^2} \frac{|f(x_1,x_2)-f(x_1,x_2+t)|^p}{t^{1+sp}}\neq 0$.
    C'est triste...
  • garfieldalest
    garfieldalest
    Je crois que le probleme est que tu consideres la semi-norme et non la norme. Le prolongement dit que
    $\|u\|_{N2}\leq C \|U\|_{N1}$$ (j'ai note N1 et N2 les normes sur chacun des espaces) , mais ne dit peut-etre pas que cette inegalite est vrai pour les semi-norme. La fonction $ 1$ n'est pas de norm nulle.
  • corentin0
    corentin0
    Euh?
  • Bruno
    Bruno
    Je crois que le probleme est que tu consideres la semi-norme et non la norme. Le prolongement dit que
    $$\|u\|_{N2}\leq C \|U\|_{N1}$$ (j'ai note N1 et N2 les normes sur chacun des espaces) , mais ne dit peut-etre pas que cette inegalite est vrai pour les semi-norme. La fonction $ 1$ n'est pas de norm nulle.
  • corentin0
    corentin0
    Bon, maintenant que j'ai pu lire:
    tu es certain que c'est avec les vraies normes qu'il faut travailler? Moi ça m'arrangerait, mais dans le bouquin où c'est traité ça n'en donne pas l'impression. (encore que c'est assez illisible, donc on sait jamais)
    Pourquoi une fonction constante ne serait pas de semi norme nulle?
  • garfieldalest
    garfieldalest
    Pourquoi une fonction constante ne serait pas de semi norme nulle?
    Je ne sais pas, j'ai dit je crois qu'elle n'est pas de norme nulle. Je ne suis pas certain que ce soit avec les normes qu'il faille travailler mais normalement qu'en on dit qu'il existe un operateur de prolongement borne, c'est des normes dont on parle. Je pense qu'il faut regarder la demo pour voir avec quoi il travaillenet. Tu la trouves ou ?
  • corentin0
    corentin0
    Rebonjour;
    C'est dans le tome 1 du bouquin de lions et magenes, "problèmes aux limites non homogènes", page 63. J'ai pas mal de difficultés pour lire les démonstrations parce qu'ils définissent pas les espaces de sobolev avec la semi norme (classique?) mais avec les transformées de fourier. Et, ce qui ne gâte rien, il y a pas mal de notations qui piquent les yeux.
  • garfieldalest
    garfieldalest
    C'est dommage , j'ai pas ce livre sous les yeux, mais il semble me souvenir qu'en effet ca pique un peu.... Je vais peut-etre etre super pretentieux, mais je pense qu'ils ne s'embarassent pas a dire que ce n'est qu'une semi-norme et qu'il faut rajouter la norme $L^p$. SI tu prend Brezis p.196, il n'est pas super precis. Il dit simplement qu'il faut munir $W^{s,p}$ de la norme naturelle. Il sous entend l'ajoue de la norme $L^p$ sinon c'est qu'une semi-norme. Je croie, je je suppose, je suppute. Quand je parle de ce qu'on fait ces gars la je prefere ne pas trop m'avancer, vu que e suis a des annees luniere de ce qu'ils ont fait....
  • corentin0
    corentin0
    Quand tu parles du bouquin de Brézis, tu veux dire "analyse fonctionnelle et appliquée"? Il faudra quand même que je me décide à l'acheter.
    Comme tu dis, le niveau de ce qu'ils font est pas mauvais, je dois comprendre pour mon stage un article que brézis a écrit avec deux autres chercheurs, et j'y suis dessus depuis fin juin. :)
  • garfieldalest
    garfieldalest
    Oui, enfin le titre exacte est "analyse fonctionnelle, theorie et applications. Je sais pas ou tu en est mais je crois en effet que tu devrais te le procurer : c'est un peu une bible en EDP, j'ai l'impression. Tu peux aussi regarder le livre "Adams : Sobolev spaces" je pense qu'il est bien fait.

    Pour ce qui est du prolongement, en dimension un, en prenant la fonction caracteristique sur $(0,1)$, on voit il me semble encore plus facilement que son prolongement par zero n'a pas une semi norme nulle, alors que bien sur elle est de semi-norme nulle sur $(0,1)$.
  • Ben
    Ben
    Simple remarque pour Corentin : dans mon cours d'EDP de cette année ainsi que dans un cours d'analyse numérique où il y avait un peu d'espaces de Sobolev on nous a défini l'espace avec la transformée de Fourier, donc je pense que c'est plutôt classique comme présentation.
  • corentin0
    corentin0
    @ garfield; l'an prochain je serai en dea d'edp, donc effectivement il serait temps... J'avais lu les 6 premiers chapitres de Adams, juste avant les espaces à dérivées fractionnaires, mais ma bibliothèque ayant estimé que 4 semaines c'est déja trop (!) j'ai été interdit d'emprunt.
    Je suis d'accord avec ce que tu dis sur la fonction caractéristique.

    @ben; Le problème, je crois, c'est que la transformée de fourier ne marche que dans $H^s$, et pas dans $W^{s,p}$.
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