prolongement continu aberrant
Bonjour;
<BR>je bloque sur un théorème de prolongement; si sp<1, on peut prolonger continument une fonction de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="61" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img1.png" ALT="$ W^{s,p}(\Omega)$"></SPAN> en la posant nulle en dehors de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img2.png" ALT="$ \Omega$"></SPAN>.
<BR>Ce qui me choque, c'est que pour la (semi)norme classique, les fonctions constantes sont de norme nulle, et pas le prolongement!!
<BR>Quelqu'un connaissant ce théorème pourrait il m'expliquer?<BR>
<BR>je bloque sur un théorème de prolongement; si sp<1, on peut prolonger continument une fonction de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="61" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img1.png" ALT="$ W^{s,p}(\Omega)$"></SPAN> en la posant nulle en dehors de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/07/26/63784/cv/img2.png" ALT="$ \Omega$"></SPAN>.
<BR>Ce qui me choque, c'est que pour la (semi)norme classique, les fonctions constantes sont de norme nulle, et pas le prolongement!!
<BR>Quelqu'un connaissant ce théorème pourrait il m'expliquer?<BR>
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Réponses
on note 1 la fonction constante égale à 1 (!) disons sur $\R\times \R^+$.
Il est clair que sa semi norme est nulle
Par contre, si on la prolonge par 0 sur le reste du plan, on a
$\displaystyle \int_{\R^+}\int_{\R^2} \frac{|f(x_1,x_2)-f(x_1,x_2+t)|^p}{t^{1+sp}}\neq 0$.
C'est triste...
$\|u\|_{N2}\leq C \|U\|_{N1}$$ (j'ai note N1 et N2 les normes sur chacun des espaces) , mais ne dit peut-etre pas que cette inegalite est vrai pour les semi-norme. La fonction $ 1$ n'est pas de norm nulle.
$$\|u\|_{N2}\leq C \|U\|_{N1}$$ (j'ai note N1 et N2 les normes sur chacun des espaces) , mais ne dit peut-etre pas que cette inegalite est vrai pour les semi-norme. La fonction $ 1$ n'est pas de norm nulle.
tu es certain que c'est avec les vraies normes qu'il faut travailler? Moi ça m'arrangerait, mais dans le bouquin où c'est traité ça n'en donne pas l'impression. (encore que c'est assez illisible, donc on sait jamais)
Pourquoi une fonction constante ne serait pas de semi norme nulle?
Je ne sais pas, j'ai dit je crois qu'elle n'est pas de norme nulle. Je ne suis pas certain que ce soit avec les normes qu'il faille travailler mais normalement qu'en on dit qu'il existe un operateur de prolongement borne, c'est des normes dont on parle. Je pense qu'il faut regarder la demo pour voir avec quoi il travaillenet. Tu la trouves ou ?
C'est dans le tome 1 du bouquin de lions et magenes, "problèmes aux limites non homogènes", page 63. J'ai pas mal de difficultés pour lire les démonstrations parce qu'ils définissent pas les espaces de sobolev avec la semi norme (classique?) mais avec les transformées de fourier. Et, ce qui ne gâte rien, il y a pas mal de notations qui piquent les yeux.
Comme tu dis, le niveau de ce qu'ils font est pas mauvais, je dois comprendre pour mon stage un article que brézis a écrit avec deux autres chercheurs, et j'y suis dessus depuis fin juin.
Pour ce qui est du prolongement, en dimension un, en prenant la fonction caracteristique sur $(0,1)$, on voit il me semble encore plus facilement que son prolongement par zero n'a pas une semi norme nulle, alors que bien sur elle est de semi-norme nulle sur $(0,1)$.
Je suis d'accord avec ce que tu dis sur la fonction caractéristique.
@ben; Le problème, je crois, c'est que la transformée de fourier ne marche que dans $H^s$, et pas dans $W^{s,p}$.