Pensez à lire la Charte avant de poster !
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
1 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

aires

Envoyé par azem 
aires
il y a neuf années
bonjour ,comment peut-on démontrer les aires des polygones (rectangle, triangle, etc...) sans l'utilisation de la théorie de l'intégration.
Merci
Re: aires
il y a neuf années
L'aire d'un rectangle s'apprend à l'école primaire. C'est à partir de là qu'on peut aller plus loin.
Re: aires
il y a neuf années
bonjour

il suffit de se référer à l'aire du carré (arête x arête) qui permet d'en déduire celle du rectangle (longueur x largeur) qui permet de calculer celle du triangle (base x hauteur/2) puis celle du trapèze (produit de la demie somme des bases par la hauteur) et de n'importe quel polygone par décomposition en triangles

cordialement
oc
Re: aires
il y a neuf années
c'est pas si evident que cela de passer du carrée au rectangle ....


oc
Re: aires
il y a neuf années
C'est pour cela qu'il est préférable de commencer par le rectangle.
oc
Re: aires
il y a neuf années
J'ai trouvé, c'est bon on dessine 4 rectangles avec dedans un carré et un peu de calcul, on tombe sur
(l+L)²-(l-L)²=4*A et le compte est bon ....
Sans dessin c'est pas très parlant !!!

oc
Re: aires
il y a neuf années
Bonjour les amis,
Je sais bien que l'aire d'un rectangle est égale à a*b ( a étant la longueur et b la largeur ) ce que je veux savoir c'est comment avons-nous trouvé ce résultat, quelles sont les étapes et les démarches qui nous permettent de trouver ce résultat et pas un autre (et cela étant sans passer par la théorie de l'intégration car les aires des polygones étaient connues bien avant l'avènement de cette théorie et les peuples anciens comme les grecs connaissaient déjà les aires).
Merci de votre aide.
Re: aires
il y a neuf années
qu'est ce que c'est d'abord la définition d'un aire?
Philou Le Cocker
Re: aires
il y a neuf années
Vous ne connaissez pas les formules de L'AIRE ??? ( formules d'Euler, pour ceux qui n'ont pas compris ; vieille citation qui sema le doute dans mon esprit lors d un cours de ma défunte prof de terminale.)


Ok je sors ...
Okay
Re: aires
il y a neuf années
Je pense que les formules d'aires de polygones connues à des périodes remontant à l'antiquité n'avaient pas forcément de fondements théoriques tels que tu les cherches.
Par exemple, pour le rectangle, je pense que son aire aurait pu être déduite comme le nombre de "cases" (dont l'aire serait normée à l'unité) que composerait un dammier au périmètre de ce rectangle. Pour avoir qqch de plus fin, il aurait simplement suffi de fractionner ces cases. En gros la multiplication telle qu'on l'introduit au CE1 !
Si la taille de ces cases devient infiniment petite et leur nombre infiniment grand, tu vois où je veux en venir..... mais même si la théorie de l'intégration est bien postérieure aux grecs, ces derniers possèdaient une vraie notion de limite, comme en témoignent les tentatives de la quadrature du cercle qui remontent à cette époque...
Re: aires
il y a neuf années
avatar
<latex> "...ces derniers (les grecs) possédaient une vraie notion de limite..."

Une fois encore je vais m'insurger contre cette déclaration téléologique.

Une limite est de l'ordre de l'analyse et du numérique. Or si les grecs réalisent des prouesses d'intégration, ce n'est pas un calcul au sens où nous l'entendons mais un travail purement géométrique sur des grandeurs. Pour eux l'objet géométrique que nous désignons par $\pi$ n'est pas un nombre, c'est une raison entre les deux grandeurs que sont les carrés construits sur les diamètres et les cercles :

Proposition 2 du livre XII :

"{\it Les cercles sont relativement l'un à l'autre comme les carrés construits sur leurs diamètres}"

Difficile de prétendre là d'y voir une conception numérique. De plus, leurs calculs d'intégration ne font pas du tout appel à une quelconque notion de limite, ils déterminent avec exactitude la raison entre deux grandeurs par des procédés probablement heuristiques qui ne nous sont pas parvenus sauf la remarquable méthode utilisée par Archimède pour déterminer la valeur de la quadrature de la parabole (Archimède, "{\it De la méthode}", lettre à Eratosthène retrouvée sur un palimpseste vers 1900).

Euclide définit, dans le livre I une notion de limite sous la forme suivante :
\begin{itemize}
\item Une ligne est une longueur sans largeur.
\item Les limites d'une lignes sont des points (définition 3).
\item Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
\item Les limites d'une surface sont des lignes (définition 6).
\end{itemize}

Je ne recherche pas les définitions correspondantes de géométrie de l'espace qui sont dans un autre livre.

Dans les définitions des figures (je peux recopier tout ce qui concerne cela si vous le souhaitez), Parmi les quadrilatères on distingue :
\begin{itemize}
\item Le carré qui est équilatère et rectangle et possède une limite constituée de quatre lignes de même longueurs avec des angles droits.
\item La figure oblongue est rectangle mais pas équilatère (donc le rectangle).
\item Le losange qui est équilatère mais pas rectangle.
\item Le rhoboïde qui a les côtés et les angles opposés égaux (c'est le parallélogramme).
\end{itemize}
De toutes ces définitions, on peut tirer quelques idées sur le calcul de l'aire mais il n'y a rien d'explicite dans ce que je connais des éléments à ce sujet.

Bien entendu, Okay a raison : l'aire des surfaces simples était connue bien avant le développement des mathématiques déductives (que faute de preuve et en raison des hypothèses sur l'origine de celles-ci, nous faisons remonter aux grecs).

Bruno
Re: aires
il y a neuf années
avatar
Dans le paragraphe sur l'intégration, j'ai omis la fin : après avoir déterminé une raison par ces méthodes inconnues, les grecs démontrent par la méthode d'exhaustion que le résultat annoncé est correct.

Bruno
Okay
Re: aires
il y a neuf années
Je me suis exprimé de façon trop imprécise : je ne parlais pas de limite au sens de l'analyse. Mais comme tu le soulignes, avant tout au sens géométrique. Je faisais allusion à le tentative d'approcher le cercle avec des polygones ayant de plus en plus de cotés.
En termes modernes, ceci correspond bien à une sorte d'algorithme qu'on veut faire converger. Je n'aurais peut être pas dû employer le mot limite dans ce cadre. Mais l'intuition de quelque chose qui tend vers quelque chose de fini ou d'infini était déjà présente il me semble.
Re: aires
il y a neuf années
avatar
Bonjour Okay.

Je te réponds avec retard, je ne suis pas tout le temps derrière mon ordinateur.

Je vois que nos points de vue se rapprochent. Le terme de limite a finalement acquis tant de sens à la fois proches et très divergents les uns des autres qu'il est difficile de ne pas induire de confusion dans les jeunes esprits qui nous lisent smiling smiley)

En fait, il me semble que les grecs manifestent un esprit totalement éloigné de celui des mathématiciens du XVIII siècle (pour donner une "limite" temporelle). Résoudre un problème chez les grecs, c'est trouver la solution ; il me semble qu'ils ne peuvent accepter une méthode consistant à reconnaître l'existence d'une solution à un problème à laquelle on ne peut accéder et que l'on approche d'aussi près qu'on le souhaite.

C'est en ce sens que je proteste souvent quand on parle de limite chez les grecs.

Bruno
Okay
Re: aires
il y a neuf années
Merci pour la réponse! (je n'étais pas particulierement pressé ;))
Re: aires
il y a neuf années
donc on peut dire que les formules nous permetant de calculer les aires des polygones n'ont pas de demonstrations
Re: aires
il y a neuf années
avatar
Faut rien exagérer azem. <BR> <BR>Ce n'est pas parce qu'on ne peut dater à quand remonte une démonstration que celle-ci n'a pas été faite. <BR> <BR>Revenons aux "&#201;léments". Je pensais y trouver une raison de penser que la mesure de l'aire y était sous-jacente pour la raison suivant : <BR> <BR>La proposition 37, livre I énonce : <BR> <BR><I>Les triangles qui sont sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux</I>. <BR> <BR>Traduction : si deux triangle ont un côté et la hauteur relative à ce côté de mêmes longueurs respectives, ils ont la même aire. <BR> <BR>Mais je me trompais probablement. Ce résultat est démontré grâce à un savant découpage et en utilisant la propriété analogue pour des parallélogrammes, elle-même obtenue par découpage. <BR> <BR>Bref pas trace de mon intuition et je reviens à mon énoncé premier, chez Euclide, il n'y a pas de formule donnant un calcul d'aire car ce n'est pas un problème, on sait comparer deux aires, et les additionner. On sait même construire le carré ayant la même aire qu'un rectangle donné (ou un triangle donné). De ses résultats on peut déduire les formules donnant les aires des polygones plans. Simplement on (je, pour être plus précis) n'a aucune trace de la moindre démonstration d'un tel résultat dans le premier livre des élément. Bien sûr, je n'ai pas fouillé la totalité des douze livres, il faudrait regarder au delà des livres arithmétiques (V et suivants) une fois établie la théorie des grandeurs. <BR> <BR>Reste qu'aujourd'hui, on sait démontrer ces formules tout à fait rigoureusement, soit par des moyens élémentaires, soit en donnant les définitions ad-hoc.<BR>
Re: aires
il y a neuf années
hier avant de dormir je crois que j'ai compris comment ils ont fait pour déduire l'aire d'un rectangle :

on découpe le rectangle en petits carrés qui ont la meme aire ,et cette aire c'est l'aire unité .l'aire du rectangle c'est bien sur la somme des aires des petits carrés qui le compose or ces derniers ont une aire égale donc il faut juste connaitre le nombre des pêtits carrés pour connaitre l'aire du rectangle .on peut connaitre ce nombre en multipliant le nobre de carrés qui forment une colonne par le nombre de carrés qui forment une ligne ce qui explique que l'aire du rectangle est :la longueur*la largeur,mais je crois que cette methode ne donnerra que des aires entiere(ça veut dire que la mesure de l'aire est un nombre entier) ,en ce qui concerne le carré c'est la meme chose puisqu'le carré est un rectangle particulier(largeur=longueur).mais je ne vois pas comment faire pour le triangle et pour les autres polygones regulier ayant plus de 4 cotés ainsi que pour le trapèze et le parralélogramme .
Re: aires
il y a neuf années
on doit pouvoir trouver des démonstrations 'intuitives'
pour le paraléllogramme :
Soit un parallélogramme ABCD
Soit H et H' les projetés orthogonaux de B et C sur (AD)
HBCH' est un rectangle et on remarque que les triangles ABH et DCH' son isométriques ( les grecs auraient peut-être dit égaux, je suis pas assez calés là dessus pour répondre )
et que :
ABCD est la juxtaposition de HBCD et ABH
HBCH' est la juxtapsition de HBCD et DCH'
Comme ABH et DCH' sont isométriques ils ont meme aire et :
Aire (ABCD)=Aire(HBCH')= BC x BH = base x hauteur

Pour un triangle quelconque ABC :
Soit I=m[BC]
Soit A' le symétrique de A par rapport à I
Les trianges ABC et A'CB sont isométriques donc de meme aire
De plus : ABA'C est un paraléllogramme
D'où : Aire(ABC)=Aire(ABA'C)/2= base x hauteur / 2

Est-ce que cette démonstration correspond au problême posé ?
Okay
Re: aires
il y a neuf années
azem, c est exactement ce que j ai marqué qq posts plus haut !!
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 97 882, Messages: 898 266, Utilisateurs: 9 789.
Notre dernier utilisateur inscrit abika.


Ce forum
Discussions: 37 187, Messages: 278 059.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page
Autres...