aires

bonjour

il suffit de se référer à l'aire du carré (arête x arête) qui permet d'en déduire celle du rectangle (longueur x largeur) qui permet de calculer celle du triangle (base x hauteur/2) puis celle du trapèze (produit de la demie somme des bases par la hauteur) et de n'importe quel polygone par décomposition en triangles

cordialement

C'est pour cela qu'il est préférable de commencer par le rectangle.

Vous ne connaissez pas les formules de L'AIRE ??? ( formules d'Euler, pour ceux qui n'ont pas compris ; vieille citation qui sema le doute dans mon esprit lors d un cours de ma défunte prof de terminale.)


Ok je sors ...

"...ces derniers (les grecs) possédaient une vraie notion de limite..."

Une fois encore je vais m'insurger contre cette déclaration téléologique.

Une limite est de l'ordre de l'analyse et du numérique. Or si les grecs réalisent des prouesses d'intégration, ce n'est pas un calcul au sens où nous l'entendons mais un travail purement géométrique sur des grandeurs. Pour eux l'objet géométrique que nous désignons par $\pi$ n'est pas un nombre, c'est une raison entre les deux grandeurs que sont les carrés construits sur les diamètres et les cercles :

Proposition 2 du livre XII :

"{\it Les cercles sont relativement l'un à l'autre comme les carrés construits sur leurs diamètres}"

Difficile de prétendre là d'y voir une conception numérique. De plus, leurs calculs d'intégration ne font pas du tout appel à une quelconque notion de limite, ils déterminent avec exactitude la raison entre deux grandeurs par des procédés probablement heuristiques qui ne nous sont pas parvenus sauf la remarquable méthode utilisée par Archimède pour déterminer la valeur de la quadrature de la parabole (Archimède, "{\it De la méthode}", lettre à Eratosthène retrouvée sur un palimpseste vers 1900).

Euclide définit, dans le livre I une notion de limite sous la forme suivante :
\begin{itemize}
\item Une ligne est une longueur sans largeur.
\item Les limites d'une lignes sont des points (définition 3).
\item Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
\item Les limites d'une surface sont des lignes (définition 6).
\end{itemize}

Je ne recherche pas les définitions correspondantes de géométrie de l'espace qui sont dans un autre livre.

Dans les définitions des figures (je peux recopier tout ce qui concerne cela si vous le souhaitez), Parmi les quadrilatères on distingue :
\begin{itemize}
\item Le carré qui est équilatère et rectangle et possède une limite constituée de quatre lignes de même longueurs avec des angles droits.
\item La figure oblongue est rectangle mais pas équilatère (donc le rectangle).
\item Le losange qui est équilatère mais pas rectangle.
\item Le rhoboïde qui a les côtés et les angles opposés égaux (c'est le parallélogramme).
\end{itemize}
De toutes ces définitions, on peut tirer quelques idées sur le calcul de l'aire mais il n'y a rien d'explicite dans ce que je connais des éléments à ce sujet.

Bien entendu, Okay a raison : l'aire des surfaces simples était connue bien avant le développement des mathématiques déductives (que faute de preuve et en raison des hypothèses sur l'origine de celles-ci, nous faisons remonter aux grecs).

Bruno

Je me suis exprimé de façon trop imprécise : je ne parlais pas de limite au sens de l'analyse. Mais comme tu le soulignes, avant tout au sens géométrique. Je faisais allusion à le tentative d'approcher le cercle avec des polygones ayant de plus en plus de cotés.
En termes modernes, ceci correspond bien à une sorte d'algorithme qu'on veut faire converger. Je n'aurais peut être pas dû employer le mot limite dans ce cadre. Mais l'intuition de quelque chose qui tend vers quelque chose de fini ou d'infini était déjà présente il me semble.

Merci pour la réponse! (je n'étais pas particulierement pressé )

Faut rien exagérer azem.
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<BR>Ce n'est pas parce qu'on ne peut dater à quand remonte une démonstration que celle-ci n'a pas été faite.
<BR>
<BR>Revenons aux "Éléments". Je pensais y trouver une raison de penser que la mesure de l'aire y était sous-jacente pour la raison suivant :
<BR>
<BR>La proposition 37, livre I énonce :
<BR>
<BR><I>Les triangles qui sont sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux</I>.
<BR>
<BR>Traduction : si deux triangle ont un côté et la hauteur relative à ce côté de mêmes longueurs respectives, ils ont la même aire.
<BR>
<BR>Mais je me trompais probablement. Ce résultat est démontré grâce à un savant découpage et en utilisant la propriété analogue pour des parallélogrammes, elle-même obtenue par découpage.
<BR>
<BR>Bref pas trace de mon intuition et je reviens à mon énoncé premier, chez Euclide, il n'y a pas de formule donnant un calcul d'aire car ce n'est pas un problème, on sait comparer deux aires, et les additionner. On sait même construire le carré ayant la même aire qu'un rectangle donné (ou un triangle donné). De ses résultats on peut déduire les formules donnant les aires des polygones plans. Simplement on (je, pour être plus précis) n'a aucune trace de la moindre démonstration d'un tel résultat dans le premier livre des élément. Bien sûr, je n'ai pas fouillé la totalité des douze livres, il faudrait regarder au delà des livres arithmétiques (V et suivants) une fois établie la théorie des grandeurs.
<BR>
<BR>Reste qu'aujourd'hui, on sait démontrer ces formules tout à fait rigoureusement, soit par des moyens élémentaires, soit en donnant les définitions ad-hoc.<BR>

on doit pouvoir trouver des démonstrations 'intuitives'
pour le paraléllogramme :
Soit un parallélogramme ABCD
Soit H et H' les projetés orthogonaux de B et C sur (AD)
HBCH' est un rectangle et on remarque que les triangles ABH et DCH' son isométriques ( les grecs auraient peut-être dit égaux, je suis pas assez calés là dessus pour répondre )
et que :
ABCD est la juxtaposition de HBCD et ABH
HBCH' est la juxtapsition de HBCD et DCH'
Comme ABH et DCH' sont isométriques ils ont meme aire et :
Aire (ABCD)=Aire(HBCH')= BC x BH = base x hauteur

Pour un triangle quelconque ABC :
Soit I=m[BC]
Soit A' le symétrique de A par rapport à I
Les trianges ABC et A'CB sont isométriques donc de meme aire
De plus : ABA'C est un paraléllogramme
D'où : Aire(ABC)=Aire(ABA'C)/2= base x hauteur / 2

Est-ce que cette démonstration correspond au problême posé ?

Quant au triangle, il se déduit du rectangle par un découpage en deux. On en déduit les aires des autres polygônes.

Voila comment ils ont fait ;o)

Marc

Pour tomari.
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<BR>Bravo, tu as retrouvé la proposition 34 du livre I des Éléments :-)) que je résume par :
<BR>
<BR>"La diagonale divise un parallélogramme en deux triangles égaux."
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<BR>Blagues à part, nous sommes à peu près tous d'accord que l'on <B>aurait pu</B> trouver une proposition donnant l'aire d'un triangle et d'un rectangle dans les Éléments. Seulement voilà, on ne les y trouve pas.
<BR>
<BR>Dans la proposition 35 :
<BR>
<BR><I>"Deux parallélogramme qui sont sur la même base et dans les mêmes parallèles sont égaux entre eux"</I> (voir figure jointe pour nous mettre d'accord).
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<BR>L'auteur s'arrête à la conclusion : "donc les deux parallélogrammes sont égaux".
<BR>
<BR>Je pense qu'il faut y voir une différence de problématique.
<BR>
<BR>Les grecs ne parlent pas de nombres, mais de grandeurs (je rappelle que cette dichotomie existe jusqu'au début du XIXème siècle et quand je faisais de la physique au lycée, le prof nous rappelais ce qu'étaient les grandeurs), or <B>les grandeurs ne se multiplient pas</B>, si elles sont de même nature, elle se comparent, s'ajoutent ou se retranchent, pour ce qu'on appelle à présent les grandeurs mesurables. Donc pas question d'énoncer une proposition permettant de calculer une aire ce qui supposerait une multiplication de deux grandeurs.
<BR>
<BR>Il me semble, en résumé, que nous arrivons au consensus suivant :
<BR>
<BR>On peut établir sans difficultés les formules donnant l'aire d'un triangle et, partant de là de tout polygone convexe, grâce aux bases des Éléments d'Euclide à condition de formuler correctement le problème de la mesure des aires (comparaison avec une aire unité), de numériser ce problème et de se payer quelques passages à la limite en plus.
<BR>
<BR>J'ajoute que rien de ceci n'est concevable en géométrie non euclidienne, comme je l'ai déjà écrit dans mon précédent message.
<BR>
<BR>Bruno
<BR>
<BR>PS. Voici la figure d'Euclide.<BR>