Diviser par zéro
Bonjour à tous,
J'aurais voulu savoir pourquoi il est mathématiquement faux de diviser par zéro ? Parce que je suis d'accord que quand on divise a par b, on cherche l'unique nombre tel que ce nombre, multiplié par b, donne a. Il faudrait alors trouver LE nombre qui quand on le multiplie par 0 donne x. Or étant donné que (n'importe quel nombre)*0 = 0, cela paraît difficile...
Cependant le fait d'obtenir une valeur réelle pour des limites de fonctions sur lesquelles nous étions tombées sur la FI 0/0 me laisse songeur...
Et juste comme ça, que vaut 0^0 ? Au lycée on a vu par convention qu'on adoptait 0^0=1 mais il me semble avoir entendu que cela n'est pas toujours vrai suivant la manière de procéder...
Sachant d'ailleurs qu'en remplaçant 0^0 par exp(0*ln 0) il vient ln 0 qui n'est pas défini...
J'aurais voulu savoir pourquoi il est mathématiquement faux de diviser par zéro ? Parce que je suis d'accord que quand on divise a par b, on cherche l'unique nombre tel que ce nombre, multiplié par b, donne a. Il faudrait alors trouver LE nombre qui quand on le multiplie par 0 donne x. Or étant donné que (n'importe quel nombre)*0 = 0, cela paraît difficile...
Cependant le fait d'obtenir une valeur réelle pour des limites de fonctions sur lesquelles nous étions tombées sur la FI 0/0 me laisse songeur...
Et juste comme ça, que vaut 0^0 ? Au lycée on a vu par convention qu'on adoptait 0^0=1 mais il me semble avoir entendu que cela n'est pas toujours vrai suivant la manière de procéder...
Sachant d'ailleurs qu'en remplaçant 0^0 par exp(0*ln 0) il vient ln 0 qui n'est pas défini...
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Réponses
Pour le 0^0, il y a eu un post, la fonction rechercher devrait te permettre de le retrouver.
Pour ce qui est de la division par 0, si cette dernière est autorisée et que $\forall a \in \R, \quad \displaystyle{\frac{a}{a}}=1$ alors on a un problème :
$$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$
$$ \frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b $$
Donc pour $ a=b=1 $ :
$$ \frac{0}{0}=1+1 $$
$$ 1=2 $$
Julien
f(1) = 1 et f '(1)=2. On ne voit pas pourquoi on aurait: f(1)=f '(1).
Parce que je suis entièrement d'accord avec ce qu'à dit Rémi...
Il suffit de développer (a+b)(a-b) et de diviser par a-b... on retombe sur a+b, si on ajoute a=b on obtient : 2a=0/0 ce qui montre que 0/0 ne peut être défini puisque ici a est arbitraire....
J'espère ne pas être passé à coté d'une RAJerie sans m'en apercevoir
amicalement
t-mouss
Je n'avais pas vu ça comme ça...
Et je suis d'accord, le problème est sans intérêt...
t-mouss
Oui , $\frac{0}{0}$ n'a pas de sens
0 = 1x0
0 = 2x0
Si $\frac{0}{0}$ existerait alors $\frac{0}{0}$ = 1 et $\frac{0}{0}$ = 2
et donc 1 = 2 .
Je ne comprends pas la remarque de Richard André-Jeannin sur la dérivée , le nombre dérivé d'une fonction f en un point a ( par exemple a=1 ) est la limite si elle existe du taux d'acroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ losrque x tend vers a dans un voisinage pointé de a , autrement x $\neq$ a , donc à aucun moment on ne pourra faire une division par 0 ...
Le pb est plus "on ne voit pas pourquoi f(1)=f'(1)"... cela n'est pas vrai en général mais dans ce cas ci ça marche cf le développement de (a+b)(a-b)...
Mais pourquoi continue-t-on d'alimenter ce fil ??
t-mouss
a = 1
b = 1+h avec h $\neq$ 0
$\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1} = \frac{2h}{h} = 2$ car il divise par h $\neq$ 0
et là il n'obtient aucune contradiction .
Julien a posé de suite a = b = 1 , donc b ne tend pas vers a ds un voisinage pointé de a , puis en divisant par 0 il obtient une contradiction .
Oui son calcul a la forme d'un taux d'accroissement à la différence que l'intervalle ouvert considéré ]a ; b[ est vide puisqu'il prend a = b .
"Mais pourquoi continue-t-on d'alimenter ce fil ??
Et c'est ainsi que l'on créa le mouvement pérpétuel ... sourire
Non , je vais encore dire quelque chose , mais je m'adresse à ce jeune lycéen . Déjà , sache qu'aucune question n'est idiote , on ne peut pas en dire autant des réponses malheureusement . Certains intervenants prennent du temps pour te répondre , font des efforts de pédagogie pour expliquer de façon la plus claire et accessible , s'il le font c'est que ta question le mérite !
Quand on fait des sciences et notamment des mathématiques , on doit posséder trois qualités indispensables :
1) L'honnêteté intellectuelle
2) Le goût de l'effort
3) La curisosité
{\bf Concernant ta première question } : tu avais donné toi même l'argument essentiel : la division ( euclidienne ) par 0 est impossible puisque l'ensemble des quotients ne possède pas de plus grand élément .
A ce sujet , l'astuce employée par Julien est classique mais n'a aucun rapport avec la dérivation , ce n'est qu'une simple division par 0 contrairement à ce qu'à pu affirmer un intervenant . Saches :
a) on dérive des FONCTIONS
b) sur des intervalles OUVERTS
Donc , il faut toujours rester critique vis à vis de ce que l'on écrit soi même mais aussi des écritures des autres : en commençant par éviter les abus , en respectant les notations ( au passage lire la charte ) . Par exemple , au lycée comme ailleurs , on n'écrit pas la dérivée de y=f(x)=x² , on écrit la dérivée de f:x->x² et on précise sur quel intervalle ! L'écriture y=x² est celle d'un tout autre objet : il s'agit de l'équation d'un objet géométrique , en l'occurence une parabole .
Tu remarqueras que certains intervenants essayent d'être savants mais disent parfois des bêtises ( comme la dérivation sur l'ensemble vide ! ) . J'ai la chance de vivre des mathématiques , j'en fait avec plaisir ( presque ) tous les jours , et j'espère continuer avec les qualités précitées 1)2)3) , notamment l'honnêteté intellectuelle . Sache qu'il n'y a pas de honte à être le seul à ne pas comprendre , celà m'arrive souvent ! On trouve tjrs des personnes qui ne suivent pas ds un amphi et qui font semblant ( c'est triste ! ) , en principe par politesse et honnêteté scientifique , on attend la fin d'un exposé si possible puis on demande des précisions sur certains passages . Quelqu'un qui a travaillé peut légitimement poser ses questions.
Tu vois , je n'avais pas compris où intervenait la notion de dérivation , j'ai posé ma question et un intervenant très pédagogue m'a appris que
a+a = 2a . C'est génial , je vais grâce à ce résultat continuer à aller de l'avant !
{\bf Concernant ta seconde question } : Si tu connais la fonction exponentielle ainsi que la fonction logarithme népérien tu peux alors envisager la limite en 0+ de la fonction x->$x^x$
tu écris $x^x = e^x^l^n^(^x^)$ . Lorsque x tend vers 0+ , xln(x) tend vers 0 donc par composition $e^x^l^n^(^x^)$ tend vers 1
Cependant ce n'était qu'un exemple de forme indéterminée $0^0$ !
Prenons la fonction x-> $e^\frac{-1}{x}$ sa limite en 0+ est bien 0 et pourtant $(e^\frac{-1}{x})^x = e^-^1 = \frac{1}{e}$
voila , en espérant t'avoir rendu service .
Depuis longtemps je n'interviens plus dans les sujets portant sur $0^0$. Mais puisqu'il semble que nous puissions aborder la question de façon moins passionée que d'habitude, je me lance au risque de répéter une nouvelle fois le même argument :
L'écriture $0/0$ désigne un cas de limite de fonctions pour lequel les théorèmes concernant les opérations algébriques sur les limites ne donnent pas de résultat.
L'écriture $0^0$ {\bf désigne un cas analogue}.
En ce sens, $0^0$ est ce que l'on appelait si joliment "\emph{une forme indéterminée}" et, dans l'exercice, il fallait "\emph{lever l'indétermination}", c'est-à-dire résoudre le problème de limite par des techniques plus fines que les théorèmes d'opérations algébriques (j'adore ce vocabulaire qui date de l'époque où les gens avaient plus de non dit en commun qu'aujourd'hui).
Malgré tout, la notation $0^0$ désigne également \emph{un cardinal}; dans ce cas, plus d'histoire de limites, nous ne sommes pas dans le même domaine mathématique et ce cardinal a une valeur parfaitement déterminée : $1$ (c'est le cardinal de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même).
Je considère donc que toutes ces controverses enflammées sur $0^0$ reposent sur la confusion entre le cardinal et le symbole désignant un type de problème de limites.
Bruno
Je suis plus ou moins d'accord avec ce que tu dis Bruno... La seule chose qui me pose problème c'est que lorsque tu parles du cardinal de l'ensemble des applications de l'ensemble vide dans lui-même. L'indétermination ne me semble pas plus évidente à lever car encore faudrait-il s'accorder sur ce qu'est une application de l'ensemble vide dans lui-même. Là encore pourquoi ne pourrait-on pas dire qu'il n'y en a pas ? Une fonction entre 2 ensembles est une manière d'associer à un élément du 1er ensemble un élément du 2eme. Or dans l'ensemble vide pas d'élément.
Evidement on peut s'en tirer en disant que l'identité marche encore puisque on part et on arrive dans le même ensemble...
Mais il me semble que là encore c'est une histoire de levée d'indétermination par le prolongement de définition....
t-mouss
Il suffit de revenir aux définitions (toujours substituer les définitions aux définis). Une application de $E$ dans $F$ c'est un graphe fonctionnel de $E \times F$ tel que $E = {\rm pr}_1(E \times F)$. Comme~$E = F = \emptyset$, on a $\mathfrak P(E \times F) = \mathfrak P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ et $\emptyset$ fait un excellent graphe fonctionnel. La seule contestation porte alors sur les propriété de l'implication formelle, mais c'est parfaitement balisé : on sort du cadre logique habituellement reconnu en mathématiques !
Bruno
je vais pas en rajouter une couche... Bruno a raison dans ce qu'il dit: deja, d'un point de vue mathematique, mais aussi par rapport au fait que la precedente discussion a ete tres (trop) enflammee....
donc je n'interviendrais plus par rapport a $0^0$.
@l
Que vaut $0^0$ ?
A-t-on $1 = 0,9999....$ ?
Succès garanti :-)
Bruno
[Il faut ajouter "proba 2/3 ou 1/2 que le frère soit une fille" ? ou quelque chose comme ça :-) AD]
Il suffit de revenir aux définitions (toujours substituer les définitions aux définis). Une application de $E$ dans $F$ c'est un graphe fonctionnel $U \subset E \times F$ tel que $E = {\rm pr}_1(U)$. Comme~$E = F = \emptyset$, on a $\mathfrak P(E \times F) = \mathfrak P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ et $\emptyset$ fait un excellent graphe fonctionnel. La seule contestation porte alors sur les propriété de l'implication formelle, mais c'est parfaitement balisé : on sort du cadre logique habituellement reconnu en mathématiques !\\
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Bruno
Il suffit de revenir aux définitions (toujours substituer les définitions aux définis). Une application de $E$ dans $F$ c'est un graphe fonctionnel $U \subset E \times F$ tel que $E = {\rm pr}_1(U)$. Comme $E = F = \emptyset$, on a $\mathfrak P(E \times F) = \mathfrak P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ et $\emptyset$ fait un excellent graphe fonctionnel. La seule contestation porte alors sur les propriété de l'implication formelle, mais c'est parfaitement balisé : on sort du cadre logique habituellement reconnu en mathématiques !
Bruno
@l
C’est la passion qui fait vivre ce forum ne l'oublions pas ;+)
Sinon effectivement je suis d'accord avec ce que tu viens de dire Bruno... Je n'avais pas pensé à la définition par le graphe
t-mouss
Bruno
Je m'explique : si $S$ est une partie multiplicativement fermée de l'anneau $A$, et si $M$ est un $A$-module, alors $S^{-1}M$ est nul si $S$ contient $0$. Par exemple, $A^{-1}A=(0)$.
Ce phénomène semble exploitable lorsque $A$ est intègre par exemple, mais il est inutile d'inverser sciemment $0$ dans un anneau : autant considérer directement l'anneau nul.
Ce qui précède montre que la question d'inverser $0$ mérite d'être posée, bien que la réponse est beaucoup moins intéressante.
La nature algébrique du problème (tout comme pour $0^0$) échappe à ceux qui cherche à rattacher systématiquement ces écritures à des problèmes de nature topologique, bien que ceux-ci sont plus courants.
Amicalement.
En algèbre, étant donné un corps de nombres (fini ou infini) on peut lui associer son corps complété. Il s'agit du corps "classique" étendu par un élément $\infty$ qui possède du point de vue de la multiplication les mêmes propriétés que 0: il est absorbant; l'inverse de 0 est $\infty$ et réciproquement; les expressions 0/0et $\infty$/$\infty$sont indéterminées (de même que le produit de 0 * $\infty$).
En analyse la situation est différente; les réels sont en général complétés par 2 éléments +$\infty$et -$\infty$ (corps achevé).
Voir http://xavier.hubaut.info/coursmath/mat/infini.htm
On appelle cela avoir l'esprit de l'escalier. A moins que ce soit une exhumation ! X:-( (humour noir).
à Xavier, en survolant j'ai vu cet extrait, je pense que si tu as le temps tu peux modifier ta page (comme mentionné), ça fait bizarre sinon.
Bruno