corps fini F4

$K = \mathbb{F}_2[X]/X^2+X+1$ est un corps puisque $X^2+X+1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_2$ car il est de degré 2 et n'a pas de racines dans $\mathbb{F}_2$. Comme $K$ est un $\mathbb{F}_2$ espace vectoriel de dimension $2 = deg(X^2+X+1)$, $K$ a $2^2=4$ éléments.

$K=\mathbb{F}_2[X]/X^3+X+1$ est un corps puisque $X^3+X+1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_2$ car il est de degré 3 et n'a pas de racines dans $\mathbb{F}_2$. Comme $K$ est un $\mathbb{F}_2$ espace vectoriel de dimension $3 = deg(X^3+X+1)$, $K$ a $2^3= 8$ éléments.


$K=\mathbb{F}_3[X]/X^3+X^2+1$ est un corps puisque $X^3+X^2+1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_2$ car il est de degré 3 et n'a pas de racines dans $\mathbb{F}_3$. Comme $K$ est un $\mathbb{F}_2$ espace vectoriel de dimension $3 = deg(X^3+X^2+1)$, $K$ a $2^3= 8$ éléments.

D'une manière générale, pour construire un corps fini a $p^n$ éléments, il suffit de trouver un polynôme $P$ irréductible sur $\mathbb{F}_p$ de degré $n$ et de considérer $\mathbb{F}_p[X]/(P)$.

J'espère que ça répond à ta question.

Bon courage

Vincent

Bonsoir Kushi

Pour rebondir sur ce qu'ont dit Omar et Vincent,
$\mathbb{F}_4 \simeq \dfrac{\mathbb{F}_2[X]}{(X^2+X+1)} = \{a+\theta b\mid a,b \in \mathbb{F}_2\} = \mathbb{F}_2 \oplus \theta\mathbb{F}_2$
L'addition dans $\mathbb{F}_4$ est celle de l'espace vectoriel
La multiplication est celle des polynômes $\mathbb{F}_2[\theta]\ \pmod{\theta^2+\theta+1}$, c'est un groupe cyclique engendré par $\theta$.
En écrivant les puissances successives on obtient :
$$\begin{array}{c|ccc}
\theta^n & 1 & & \theta \\
-- & - & - & - \\
\theta^0 & 1& & \\
\theta^1 & & & \theta \\
\theta^2 & 1 &+&\theta
\end{array}$$
On s'arrête là parceque $\theta^3= \theta.\theta^2 = \theta.(1+\theta) = \theta+\theta^2 =\theta+1+\theta = 1$ car les coefficients sont dans $\mathbb{F}_2$

Pour $ \mathbb{F}_8$, c'est la même chose mais les polynômes sont alors évalués $\pmod{\theta^3+\theta+1}$, et donc cette fois $\theta^3 = \theta+1$ (ne pas oublier que dans $\mathbb{F}_2;\ -1=+1$).
Les éléments de $\mathbb{F}_8$ sont donc de la forme $a+b\theta+c\theta^2,\ a,b,c \in \mathbb{F}_2$
Et on obtient le tableau des puissances successives de $\theta$ :
$$\begin{array}{c|ccccc}
\theta^n & 1 & & \theta & & \theta^2\\
-- & - & - & - & - & - \\
\theta^0 & 1& & & & \\
\theta^1 & & & \theta & & \\
\theta^2 & & & & & \theta^2 \\
\theta^3 & 1 &+&\theta & & \\
\theta^4 & & &\theta &+ &\theta^2 \\
\theta^5 & 1&+ &\theta &+ &\theta^2 \\
\theta^6 & 1& & &+ &\theta^2
\end{array}$$
et on vérifie bien que $\theta^7=1$. Voilà comment on calcule dans $\mathbb{F}_8$
Cela se généralise facilement à tous les corps finis $\mathbb{F}_{p^k}$.

Alain

COMMENT CONSTRUIRE UNE CORPS FINIS SVP
J'AI PAS UN PROMOTEUR ET L'ADMINISTRATION M'A DONNÉ UNE THÉME SUR LA CORPS FINIS J'AI BESOIN UN PLAN BONNE COURAGE