primitive de x^x ?

poups
poups
dans Les-mathématiques
Bonjour,

je pense que le sujet est assez explicite...

cela dit, je rajoutte quelque chose :
au départ, je pensais qu'elle serait de la forme g(x).exp(f(x)), mais on tombe sur une équation différentielle :
(g'(x) + f'(x).g(x)) = exp(x.ln(x) - f(x))
que l'on peut pas résoudre par (solution sans second membre)+(variation de la constante)...

merci d'avance pour votre acharnement !

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Il me semble me rappeler que cette primitive ne s'exprime pas en fonction des fonctions élémentaires. Je dois avoir un papier là-dessus, le tout c'est que je le retrouve...
  • jean Lismonde0
    jean Lismonde0
    bonjour

    la question a déjà été posée ici-même il y a quelque temps

    à ma connaissance il n'existe pas de fonction primitive explicitée de x^x

    par contre il est possible de trouver un développement (lourd) de cette primitive avec les fonctions classiques x^n et [ln(x)]^n (n entier)

    on part du développement valable pour t>0:

    t^t=exp(tlnt)=1 + tlnt/1! + t²ln²t/2! +.......+ (tlnt)^n/n! + ......

    et on intègre terme à terme de 0 à x en tenant compte de

    l'intégrale paramétrée pour t variant de 0 à x de dt.(tlnt)^n/n!=

    x^(n+1)/(n+1)![(lnx)^n - n(lnx)^(n-1)/(n+1) + (n(n-1)(lnx)^(n-2)/(n+1)²+....+(-1)^n.n!/(n+1)^n]

    il ne reste plus qu'à sommer pour n variant de 0 à l'infini!

    chaque monôme x^n est multiplié par un polynôme de degré n en lnx

    cordialement
  • Gaudio0
    Gaudio0
    à lire: <http://perso.wanadoo.fr/denis.feldmann/PDF/liou.pdf&gt;
  • Sylvain
    Sylvain
    C'est l'article dont je parlais. Heureusement que tu es là, Gaudio.
  • riri
    riri
    Il y a aussi un sujet d'ens là-dessus je vais essayer de le retrouver.
  • riri
    riri
    voilà j'ai retrouvé
  • Gaudio0
    Gaudio0
    Je ne tirerais rien du sujet de l'ens :(.
  • Gilles old
    Gilles old
    Moi non plus, j'ai un peu le flemme ce matin :-D
  • Sylvain
    Sylvain
    Il a l'air rigolo ce sujet: je tâcherai de le faire un de ces jours, pour voir.
  • poups
    poups
    Rigolo mais pas super simple, quand même...

    En tout cas, merci à tous pour vos réponses ! Je ne savais même pas qu'on pouvait montrer qu'une primitive n'était pas une "fonction élémentaire"...
  • borde
    borde
    En revanche, on peut essayer de s'approcher d'une primitive en notant que, si $f(x) = x^x$, alors $\displaystyle { \frac {f'}{f}(x) = \ln(ex)}$ et donc, par IPP : $$\int x^x \, dx = \int \frac {f'(x)}{\ln(ex)} \, dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f(x)}{x \ln^2(ex)} \dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f'(x)}{x \ln(ex)} \dx$$ et on refait une IPP, etc.

    Borde.
  • borde
    borde
    En revanche, on peut essayer de s'approcher d'une primitive en notant que, si $f(x) = x^x$, alors $\displaystyle { \frac {f'}{f}(x) = \ln(ex)}$ et donc, par IPP : $$\int x^x \, dx = \int \frac {f'(x)}{\ln(ex)} \, dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f(x)}{x \ln^2(ex)} \, dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f'(x)}{x \ln(ex)} \, dx$$ et on refait une IPP, etc.\\
    \\
    Borde (c'est mieux comme cela).
  • borde
    borde
    En revanche, on peut essayer de s'approcher d'une primitive en notant que, si $f(x) = x^x$, alors $\displaystyle { \frac {f'}{f}(x) = \ln(ex)}$ et donc, par IPP : $$\int x^x \, dx = \int \frac {f'(x)}{\ln(ex)} \, dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f(x)}{x \ln^2(ex)} \, dx = \frac {f(x)}{\ln(ex)} + \int \frac {f'(x)}{x \ln^3(ex)} \, dx$$ et on refait une IPP, etc.

    Borde (décidemment !).
  • subsub
    subsub
    Bonjour

    Borde : est-ce qu'il ne faudrai pas s'assurer que les termes qui apparaissent au fur et à mesure des IPP ne sont pas de plus en plus "petits"

    cordialement
    sub
  • borde
    borde
    Si, bien sûr, sinon l'intérêt de cette idée serait quasi-nul...Le calcul ci-dessus était fait formellement...

    Borde.
  • borde
    borde
    ...De toute façon, chacun sait, ici, que l'IPP (resp. la sommation partielle) est l'une des techniques les plus pratiques pour établir des égalités asymptotiques d'intégrales (resp. de sommes).

    C'est ce que ce modeste calcul voulait illustrer !

    Borde.
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