équation d'olympiade
bonjour
<BR>je veux savoir la solution de l'équation : x=12-racin[12-racin(12-racinx)]
<BR>j'ai remarqué que 9 est une solution mais j'ai pas trouvé la méthode.
<BR>merci.<BR>
<BR>je veux savoir la solution de l'équation : x=12-racin[12-racin(12-racinx)]
<BR>j'ai remarqué que 9 est une solution mais j'ai pas trouvé la méthode.
<BR>merci.<BR>
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Réponses
On trouve alors un polynôme de degré 8, qui a donc au maximum 8 racines. Il ne reste plus qu'à factoriser et à vérifier lesquelles de ces racines sont solutions.
fjaclot;
$x^8 - 96 x^7 + 3984 x^6 - 93312 x^5 + 1348680 x^4 - 12316032 x^3 + 69397056 x^2 - 220644865 x + 303177744$.
Mais j'avoue que je pense qu'il y a plus simple comme solution !
J'essaie quelque chose :
Soit f : $[0;144] \to [0;12]$
_________$x |\to 12-\sqrt{x}$
On cherche les points fixes de $f^3$ (au sens de la composition)
Or $f$ est une bijection décroissante et $f(9)=9$
(Il est plus simple d'avoir le tableau de variations sous les yeux, pour mieux visualiser la suite.)
9 est un point fixe de $f^3$.
Soit $x$ un autre point fixe de $f^3$ différent de 9.
si $x9$, $f^2(x)9$ impossible
de même $x>9$ est impossible
Donc $x=9$ est seule solution.
Nicolas
Soit $f$ une bijection décroissante de $[a;b]$ sur $[c,d]\subset [a;b]$ admettant un point fixe (nécessairement unique) $\xi\in]a;b[$
Alors, $\forall k\in\mathbb{N}^{*}$, $f^{2k+1}$ admet $\xi$ comme unique point fixe.
Nicolas
Tout a fait d'acord avec cette elegante solution . Bravo !
Je reviens un instant sur mon approche : si x est solution de l'equation (1) proposee , x est solution de (2) , a savoir : x^2 - 25x + 144 = 0 . En effet , il suffit de remplacer x par son expression dans l'equation et de .....recommencer .
Les solutions de (2) sont 9 et 16 .
Mais 16 n'est pas solution de (1) . Il suffit d'essayer !
Donc 9 est la seule solution de l'equation proposee .
Y-a-t-il une faille dans le raisonnement ? 16 peut-il etre solution de (2) sans l'etre de (1) ? Ou bien 16 est-il une "fausse" solution de (2) ? Auquel cas 9 est la seule solution de (1) et de (2) .
fjaclot ;
Je ne suis pas sûr, mais peut-être avez-vous oublié une condition en élevant au carré :
$x=\sqrt{y}$
$\Leftrightarrow x^2=y$ et $x\ge 0$ et $y\ge 0$
Nicolas
Tu effectues un changement de paramètre t=12-racine(x)
[Après 7 ans, il est certain que oqaidi khalid sera heureux de ton indication. AD]