Equation d'une droite dans l'espace
Tout le monde connait l'équation d'une droite dans un espace à deux dimensions. Mais j'ai besoin de l'équation d'une droite dans l'espace tridimensionnel. Peut-être que la solution est évidente, mais je n'ai encore trouvé aucun livre ni personne pour me donner ma réponse.
Merci d'avance.
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je suppose que tu parles qu'une équation cartésienne.
Dans ce domaine, il n'existe pas une équation cartésienne d'une droite dans l'espace. Ce qui correspond à l'équation cartésienne dans le espace est alors un plan.
Par contre si on regarde une droite comme l'intersection de deux plans, on peut dire qu'une droite admet un système de deux équations cartésiennes:
Ex: $\left\lbrace\begin{array}{l}2x-3y+5z=1\\x+y-3z=5\end{array}\right.$
Baudry
Soit tu dis qu'une droite D est l'intersection de 2 plans (ax+by+cz=d et a'x+b'y+c'z=d'), soit tu écrit la forme paramétrique :
M € D ssi vectAM = k.u (D est la droite passant par A et de vecteur directeur u), d'où : x - a1 = k.u1, y-a2 = ... etc
Si je comprends bien, de deux points nécessaires pour définir une droite, on passe à quatre points, dont deux sont données arbitrairement...
$ \left\lbrace\begin{array}{l}2x-3y+5z=1\\ x+y-3z=5\end{array}\right.$
admet l'unique équation
$(2x-3y+5z-1)^2 + (x+y-3z-5)^2 = 0$
Bien sûr, cela n'est valable que si l'on est sur un espace affine de dimension 3 sur le corps $K=\R$ des réels...
<BR>
<BR>Après une longue absence ...
<BR>
<BR>Il n'y a pas de changement. Autrement dit, une droite passe toujours par deux points distincts. Mais, il me paraît plus approprié ici de parler de l'intersection de deux plans distincts. D'où un système possible d'équations cartésiennes donné par Baudry.
<BR>
<BR>Avec tout mon respect,
<BR>
<BR>Thierry<BR>
je suis tombé sur le site
une droite dans oxyz c'est bien la projection de celle-ci dans les plans
oxy;ozy;oxz
soit A(-1;-3;1) B(1;4;-4)
dans oxy on a: -7x+2y-1=0
dans ozy on a: -7z-5y-8=0
dans oxz on a: 5x+2z+3=0
on ajoute ces 3 équations puis on trouve: -2x-3y-5z-6=0
ma question est que je ne comprends pas pourquoi on dit que ce n'est pas une équation dans l'espace.
david
Donc pour tout point M de cette droite il existe un réel k tel que :
kvect(AB)=vect(AM) (on aurait pu mettre BM aussi)
d'où les coordonnées du point M dans l'espace, d'où un système d'équations paramétriques pour la droite :
x=k(b1-a1)+a1
y=k(b2-a2)+a2
z=k(b3-a3)+a3
Ton histoire ne fonctionne pas :-))
\begin{itemize}
\item Sauf erreur de calcul de ta part (je n'ai pas vérifié), tes trois équations sont les équations cartésiennes {\it des trois plans projetant la droite $(AB)$ sur les plans de référence}.
\item Faire la somme des trois formes affines donne simplement l'équation d'un plan contenant la droite $(AB)$ mais ce n'est pas une équation de la droite $(AB)$ : tu peux constater que le point $M(-3,0,0)$ vérifie cette équation ainsi que le point $N(0,-2,0)$ et je n'ai pas l'impression que ces points appartiennent à la droite $(AB)$.
\end{itemize}
Bruno