lim sin(x)/x (TS)

SANDRA2 · September 2005

Bonjour ;
Actuellement lycéenne j'ai vu l'année dernière que lim sinx/x=1 (lorsque x tend vers plus l'infini). On m'a dit que c'est un mystère (mon prof) à mon niveau mais j'aimerais bien le démontrer pour ma culture. Savez vous comment je pourrais faire, s’il y a des sites qui traitent de ce genre d'exercice que je puisse faire.
Merci.

rémi · September 2005

lycéenne à quel niveau car ce n'est probablement pas un si grand mystère.

Schwartz0 · September 2005

Oui c'est assez simple.
Tu as $$\frac{sinx}{x}=\frac{sinx-sin(o)}{x-0}$$
Or comme tu cherches la limite en 0.
Tu as $lim\frac{sinx}{x}pour x--->0=sin'(o)$
D'où lim de sinx/x = cos0=1

Amicalement

Gauss

jean Lismonde0 · September 2005

bonsoir

il y a une erreur dans ton énoncé: la limite de sinx/x pour x tendant vers 0 est bien 1 mais la limite de sinx/x pour x infini est 0

pour x tendant vers 0 il faut faire un raisonnement géométrique que borde a fait récemment sur ce site math. ou bien dériver sinus pour x=0

pour x tendant vers l'infini il faut utiliser le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) :

-1/x < sinx/x < 1/x et pour x infini la limite commune est bien 0

cordialement

Reprise détudes, no es facil! · September 2005

lim sinx/x = 1, lorsque x tend vers 0, et non vers l'infini. Elle fait partie des limites très classiques à connaitre par coeur, et à savoir démontrer (avec le nombre dérivé)

Autres limites trigo du meme genre: lim tanx/x =1 en 0, et lim(cosx - 1)/x = 0 en 0

Martial0 · September 2005

Je trouve que c'est quand même un peu de la fumisterie d'utiliser le taux d'accroissement pour faire ça, car c'est justement avec le taux d'accroissement qu'on démontre que la dérivée de sin est cos.
Donc il vaut mieux privilégier le raisonnement géométrique.