Limite en +oo de fonctions périodiques
Salut,
J'ai le sentiment qu'une fonction périodique non constante n'admet pas de limite en $+\infty$.
Problème : comment le démontrer ? J'imagine qu'il faut raisonner par l'absurde. J'ai fait un schéma, mais rien ne me saute aux yeux pour les tripatouillages sur les $\varepsilon$ ou autre $T$ (période de la fonction).
Vos idées sont les bienvenues... Merci d'avance
J'ai le sentiment qu'une fonction périodique non constante n'admet pas de limite en $+\infty$.
Problème : comment le démontrer ? J'imagine qu'il faut raisonner par l'absurde. J'ai fait un schéma, mais rien ne me saute aux yeux pour les tripatouillages sur les $\varepsilon$ ou autre $T$ (période de la fonction).
Vos idées sont les bienvenues... Merci d'avance
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Réponses
Domi
f(a)-f(0)=A>0, et par suite f(a+nT)-f(nT)=A, pour tout n. Mais si f tend vers une limite L, on a , pour x et x' assez grands (>B)
|f(x)-L|<A/4 et |f(x')-L|<A/4, ce qui entraîne:
|f(x)-f(x')|<A/2 d'où une contradiction si nT>B.
Domi
Sympa cet exercice, je le mets dans mes notes (il doit bien figurer dans des bouquins, mais je ne l'ai jamais vu !)
Il ne me semble pas pourtant que mon raisonnement ( un peu rapide je l'avoue ) malgré son absence de calculs, manque de rigueur. En plus graphiquement il est immédiat :
a a a a a a .....
b b b b b ......
Domi ( qui n'aime pas trop les calculs )
pour Gilles
tu as tort d'ecarter la solution de domi trop expeditive à ton gout..
tu devrais plutot prendre note de ce type de demonstration..efficace
Oump.
On suppose que $f$ converge. On note $\lambda$ la limite. Alors, pour tout $x$, la suite des $f(x+nT)$ converge vers $\lambda$. Comme cette suite est constante égale à $f(x)$, on a $f(x)=\lamnda$. Bref $f$ est constante.
On extrait deux suites constantes (=a et =b, ;-))) domi) elles possèdent deux limites distinctes.
Si deux suites extraites possèdent des limites distinctes, f n'admet pas de limite en +oo
En fait la démo de Domi utilise la continuité de f...
Domi
Oui je suis d'accord l'espace d'arrivée doit être séparé et la continuité de f n'est pas nécessaire à la proposition de Gilles. Mais domi, quand tu parles des valeurs d'adhérence de f... comment tu les fabriquent ? comme Probaoser? ou autrement? mettons a,b existent tels que f(a) $\neq$ f(b) , alors les suites f(a+nT) et f(b+nT) convergent vers f(a) et f(b) resp, ceci grâce à la continuité de f non?
J'étais parti là-dedans et je galérais depuis un moment avec les epsilon, donc la réponse qui me satisfait le plus c'est celle de Richard car elle est dans l'esprit de ce que j'avais commencé ! C'est simplement ce que j'ai exprimé sur mon second message...
Je n'ai pas remis en cause la démonstration de Domi ! (que j'ai également prise en note...). De plus, n'étant pas familiarisé avec la notion de valeur d'adhérence, je n'ai pas pensé à aborder cet exo de cette façon.
mon msn valpero@homail.fr
La reponse est oui si jamais.
eric