développement asymptotique

bonjour

je ne comprends pas bien ce que tu entends par terme constant du développement asymptotique de l'expression en question, qu'il faut sommer suivant k ou bien p?

p est-il entier naturel ou bien entier relatif?

dans le premier cas on a affaire à la dérivée (au point x=p) de la fonction de Bernoulli : B(n,x)=1+2^x + 3^x + ........+n^x

dans le second cas pour p négatif il s'agit du début du développement de la dérivée de Zéta (fonction de Riemann) au point x=p

le résultat est peut-être intéressant mais il conviendrait de préciser ton travail

cordialement

Réponse à abbas

Bonjour,

je ne pourrais pas dire quel est le degré d'intérêt du résultat car "intéressant" est un qualificatif très subjectif.
Toutefois, il convient de remarquer que l'on obtient le développement asymptotique avec autant de termes que l'on veut en dérivant par rapport à x le développement asymptotique de la fonction f(x) dont la formule est donnée en page jointe et qui est connue :

Attention aux dénominations communes...Pour moi, LES fonctions de Bernoulli sont les fonctions $1-$périodiques et coïncidant sur $[0,1[$ avec les polynômes de Bernoulli. Ce sont elles qui interviennent dans la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin.

Par exemple, la première fonction de Bernoulli est définie sur $\R$ par : $\displaystyle {B_1(x) = \{ x \} - \frac {1}{2}}$, où, comme d'habitude, $\{ x \}$ est la partie fractionnaire du réel $x$.

Borde.

Salut JJ,

Je ne répondais pas à ton message, mais bien à celui de Jean L. juste au-dessus.

A +

Borde.

Bonjour Borde,

Je comprends maintenant d'où est venu le malentendu !
Cordialement,
JJ.

Bonjour à tous,

il me semble que, contrairement à ce que dit JJ, B3=0. C'est B4 qui vaut -1/30.

Bonjour JJ

Bravo pour tes posts toujours très documentés.

Trois remarques : les dérivées de Zéta pour les valeurs négatives de la variable ne sont pas négligeables car en fait les arches décrites par Zéta dans le champ négatif de la variable sont de plus en plus élancés et donc de fonctions dérivées très disparates sur R

Les polynômes de Pochhammer utilisés sont en fait les polynômes factoriels dont les dérivées successives au point x=0 sont connues et entières

Je reconnais dans l'expression entre crochets, des coefficients aux dénominateurs que l'on rencontre dans la formule analytique de Binet de n! (qui précise celle de Stirling) y a-t-il une relation avec celle-ci ?

Une question : pour ce prolongement asymptotique utilises-tu la formule sommatoire d'Euler Mac-Laurin ou bien une autre méthode ?

Cordialement

Je suis là !!

Borde.

Salut Abbas,

Je ne me suis pas manifesté car je n'étais pas vraiment partie prenante dans ce fil, JJ et Jean l'ayant très bien mené.

Ceci dit, ta question initiale était de savoir si ta méthode calculant le terme constant de $\displaystyle {\sum_{k} k^p \ln(k)}$ était un résultat intéressant. Pour le savoir, j'aimerais que tu nous exposes cette méthode, que l'on puisse ensuite émettre quelque opinion. A priori, tout peut être intéressant, cela dépend de tes objectifs.

Vas-y, on te regarde !! :-)

Borde.