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Une identité d'Abel

Envoyé par Guy PHILIPPE 
Une identité d'Abel
il y a treize années
Salut à tous les matheux,
<BR>J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ a$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="10" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ b$"></SPAN> sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="222" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$"></DIV><P></P>et tenez-vous bien le résultat est indépendant de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ x$"></SPAN> et vaut <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="59" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ (a+b)^n$"></SPAN> ce qui généralise le binôme de Newton (faire <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ x=0$"></SPAN>).
<BR>J'ai bien essayé de dériver par rapport à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ x$"></SPAN> en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="42" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ n=2$"></SPAN> ou <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ 3$"></SPAN> la formule est exacte.
<BR>Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
<BR>Avez-vous une idée ?<BR>
Trivecteur
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
franchement, cherche encore un peu seul parce que tu vas regretter qu'on te le dise
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Dis toujours Trivecteur, je suis d'un naturel modeste et si quelque chose d'évident m'a échappé, ce que je sais être tout à fait possible je serai le premier à en rire.
gougou
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
<latex> Pas évident cette identité, je viens de voir un book dans lequel il est suggéré de montrer par récurrence ceci :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k x (x+k)^{k-1} (y+n-k)^{n-k}=(x+y+n)^n$

et ton identité doit s'en déduire par changements de notations.

Bref c'est pas du tout trivial...
gougou
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
<latex> Pour la récurrence, j'ai la solution devant les yeux : comparer les dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$, et utiliser l'hypothèse de récurrence pour conclure.
Je ne savais pas qu'il y avait des problèmes si compliqués avec les cnp
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Merci Gougou, je vais explorer la piste que tu nous suggères cet après-midi où j'aurai du temps.
Mauricio
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Pourquoi tu appelles ca une identite d'Abel, je ne l'ai pas vu dans les oeuvres d'Abel mais peut-etre j'ai été négligent.
Mauricio
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Pour répondre à Mauricio la référence que j'invoque est le dico de math des éditions PUF et dont les auteurs sont Alain Bouvier, Michel Georges et François Le Lionnais page 3 .
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
<latex> On trouve également cette identité dans {\it Analyse combinatoire, tome 1} de Louis Comtet (dont j'ai parlé dans un autre fil), th. B page 137. On trouve aussi pêle-mêle :

1. $$(a+b)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom {2n-k-1}{n-1} (a^k + b^k) \left ( \frac {ab}{a+b} \right )^{n-k}.$$

2. Sommes partielles du développement binomial : pour tout entier $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on a $$\sum_{i=0}^{k} \binom {n}{i} a^{n-i}b^i = (n-k) \binom {n}{k} \int_{b}^{a+b} t^k (a+b-t)^{n-k-1} \, dt.$$

Borde.
gougou
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
<latex> Très belles ces formules. Il est amusant de constater que la dernière est fausse pour $k=n$ !
Trivecteur
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Mes excuses Guy, j'ai lu un peu vite.
gougou
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
<latex> T'inquiète, moi aussi j'avais lu dans un premier temps qu'il suffisait de développer
$((a-kx)+(b+kx))^n$ !

Ce serait un bon exo piège...
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Rassure-toi Trivecteur moi aussi j'ai été tenté par a+b=(a-kx)+(b+kx) mais j'ai vite vu que ça ne marchait pas vu que k était la variable de sommation.
Bisam
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Guy, as-tu essayé le binôme de Newton pour chaque facteur ?

Cela donne une triple somme toute moche mais on peut peut-être en faire quelque chose (j'avoue ne pas avoir encore essayé !)
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Oui Bisam j'ai tenté cela aussi mais tellement sans y croire que je me suis arrêté en route.
Je voudrais aussi remercier Borde qui m'a mis sur la voie de Louis Comtet que j'ai eu comme formateur à l'agreg (un homme dont la gentillesse n'a d'égal que la compétence) et je m'en veux de ne pas avoir pensé à lui qui a commis un ouvrage de référence internationale sur la combinatoire qui, en France et en français était encore introuvable il y a peu. J'ai trouvé la preuve selon Louis Comtet de l'identité d'Abel et c'est assez simple et lisible. N'empêche je persiste à trouver que ce calcul procède d'une alchimie calculatoire mystérieuse et le mystère persiste.
On est en manque d'une belle idée qui permettrait d'expliquer ce calcul simplement.
Cela me rappelle le théorème de Wedderburn qui (Jacques Vauthier dixit) était une abomination calculatoire, à la limite du lisible. Et puis une cinquantaine d'années après des gens comme Baker (je crois) ont trouvé une preuve, qui sans être simple, est à la portée de tout un chacun de niveau maîtrise-agreg. On doit être reconnaissant aux découvreurs mais aussi à ceux qui ont su mettre ces découvertes à notre portée.
Sur ces fortes paroles bonne fin de journée à tous,
Guy
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Oui, j'approuve l'idée émise dans le post de Guy : il me semble tout aussi important de simplifier (ou clarifier) des preuves de résultats existants que de trouver de nouveau théorèmes. Je rajouterais à la liste d'exemples de Guy la démonstration du TNP par Erdös et Selberg en 1949...près de 50 ans après la preuve analytique d'Hadamard et de La Vallée Poussin, mais tout aussi spectaculaire (et même plus, selon moi). <BR> <BR>Quant à Louis Comtet, je m'associe à Guy pour recommander ses livres : <I>Analyse Combinatoire, tomes 1 et 2</I>, collection "Que sais-je?", PUF (1971)...J'ai pu les dénicher au fin fond d'un CDI d'un lycée qui voulait...s'en débarrasser (!). Je crois qu'il existe (chez Springer, Guy confirmera ou non) une version anglaise réunissant les deux tomes...qui se doit d'être dans sa bibliothèque personnelle, tant les résultats y sont nombreux et souvent très importants. <BR> <BR>Dans un autre fil, j'ai mentionné une inégalité pour les dénumérants...Le livre de Comtet est à la base de ce travail... <BR> <BR>Borde.<BR>
Richard André-Jeannin
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Bonsoir Borde.
Ta plume a fourché. Comtet était bien publié aux PUF, mais pas dans la collection "que sais-je?". C'était dans la collection "sup", section "le mathématicien". Il y avait plein de chefs d'oeuvre dans cette collection, aujourd'hui disparue, dont le cours d'arithmétique de Serre.
J'ai appris qu'une nouvelle édition du Comtet est en préparation chez Cassini (http://www.cassini.fr/). Avis aux amateurs.
Quand j'étais en premier cycle à Orsay (fin des années 60), Comtet était l'assistant de L. Lesieur. Je le connaissais de vue, mais je n'étais pas dans son groupe de TD.
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
avatar
Ca devait être l'époque où on faisait vraiment des maths en deug de maths...
Robomarc
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
J'en viens à regretter encore plus d'avoir prêté-perdu le seul tome un que j'avais pu me payer. Car ils étaient chers, et ont trainé longtemps dans les rayonnages des librairies. Justice leur est rendue. <BR> <BR>En attendant leur réedition, voila ce que je viens de trouver: <BR> <BR><a href=" [www.combinatorics.org]; [www.combinatorics.org]; <BR> <BR>On y retrouve les noms de Dominique Foata, dont je garde religieusement les cours de maîtrise et de Dess, et celui de soeur Céline dans son oeuvre profane. <BR> <BR>C'est court, mais ça va m'occuper je le sens. Bon plaisir à vous ! <BR> <BR>Marc<BR>
Re: Une identité d'Abel
il y a treize années
Tu as raison, RAJ, j'ai tendance à confondre les deux collections...

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