Une identité d'Abel

Guy PHILIPPE · October 2005

Salut à tous les matheux,
 J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img1.png" ALT="$ a$"> et <IMG WIDTH="10" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img2.png" ALT="$ b$"> sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="222" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$"></DIV>et tenez-vous bien le résultat est indépendant de <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"> et vaut <IMG WIDTH="59" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img5.png" ALT="$ (a+b)^n$"> ce qui généralise le binôme de Newton (faire <IMG WIDTH="41" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img6.png" ALT="$ x=0$">).
 J'ai bien essayé de dériver par rapport à <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"> en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour <IMG WIDTH="42" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img7.png" ALT="$ n=2$"> ou <IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img8.png" ALT="$ 3$"> la formule est exacte.
 Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
 Avez-vous une idée ?

Guy PHILIPPE · October 2005

C'est bien sûr le coefficient binômial Cn(k) qu'il faut lire et non pas Cn(p)

trivecteur1 · October 2005

franchement, cherche encore un peu seul parce que tu vas regretter qu'on te le dise

Guy PHILIPPE · October 2005

Dis toujours Trivecteur, je suis d'un naturel modeste et si quelque chose d'évident m'a échappé, ce que je sais être tout à fait possible je serai le premier à en rire.

gougou · October 2005

Pas évident cette identité, je viens de voir un book dans lequel il est suggéré de montrer par récurrence ceci :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k x (x+k)^{k-1} (y+n-k)^{n-k}=(x+y+n)^n$

et ton identité doit s'en déduire par changements de notations.

Bref c'est pas du tout trivial...

gougou · October 2005

Pour la récurrence, j'ai la solution devant les yeux : comparer les dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$, et utiliser l'hypothèse de récurrence pour conclure.
Je ne savais pas qu'il y avait des problèmes si compliqués avec les cnp

Guy PHILIPPE · October 2005

Merci Gougou, je vais explorer la piste que tu nous suggères cet après-midi où j'aurai du temps.

Mauricio4 · October 2005

Pourquoi tu appelles ca une identite d'Abel, je ne l'ai pas vu dans les oeuvres d'Abel mais peut-etre j'ai été négligent.
Mauricio

Guy PHILIPPE · October 2005

Pour répondre à Mauricio la référence que j'invoque est le dico de math des éditions PUF et dont les auteurs sont Alain Bouvier, Michel Georges et François Le Lionnais page 3 .

borde · October 2005

On trouve également cette identité dans {\it Analyse combinatoire, tome 1} de Louis Comtet (dont j'ai parlé dans un autre fil), th. B page 137. On trouve aussi pêle-mêle :

1. $$(a+b)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom {2n-k-1}{n-1} (a^k + b^k) \left ( \frac {ab}{a+b} \right )^{n-k}.$$

2. Sommes partielles du développement binomial : pour tout entier $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on a $$\sum_{i=0}^{k} \binom {n}{i} a^{n-i}b^i = (n-k) \binom {n}{k} \int_{b}^{a+b} t^k (a+b-t)^{n-k-1} \, dt.$$

Borde.

gougou · October 2005

Très belles ces formules. Il est amusant de constater que la dernière est fausse pour $k=n$ !

trivecteur1 · October 2005

Mes excuses Guy, j'ai lu un peu vite.

gougou · October 2005

T'inquiète, moi aussi j'avais lu dans un premier temps qu'il suffisait de développer
$((a-kx)+(b+kx))^n$ !

Ce serait un bon exo piège...

Guy PHILIPPE · October 2005

Rassure-toi Trivecteur moi aussi j'ai été tenté par a+b=(a-kx)+(b+kx) mais j'ai vite vu que ça ne marchait pas vu que k était la variable de sommation.

Alain Debreil · October 2005

Salut à tous les matheux,
J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où $a$ et $b$ sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne $$\sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$$ et tenez-vous bien le résultat est indépendant de $x$ et vaut $(a+b)^n$ ce qui généralise le binôme de Newton (faire $x=0$).
J'ai bien essayé de dériver par rapport à $x$ en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour $n=2$ ou $3$ la formule est exacte.
Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
Avez-vous une idée ?

bisam0 · October 2005

Guy, as-tu essayé le binôme de Newton pour chaque facteur ?

Cela donne une triple somme toute moche mais on peut peut-être en faire quelque chose (j'avoue ne pas avoir encore essayé !)

Guy PHILIPPE · October 2005

Oui Bisam j'ai tenté cela aussi mais tellement sans y croire que je me suis arrêté en route.
Je voudrais aussi remercier Borde qui m'a mis sur la voie de Louis Comtet que j'ai eu comme formateur à l'agreg (un homme dont la gentillesse n'a d'égal que la compétence) et je m'en veux de ne pas avoir pensé à lui qui a commis un ouvrage de référence internationale sur la combinatoire qui, en France et en français était encore introuvable il y a peu. J'ai trouvé la preuve selon Louis Comtet de l'identité d'Abel et c'est assez simple et lisible. N'empêche je persiste à trouver que ce calcul procède d'une alchimie calculatoire mystérieuse et le mystère persiste.
On est en manque d'une belle idée qui permettrait d'expliquer ce calcul simplement.
Cela me rappelle le théorème de Wedderburn qui (Jacques Vauthier dixit) était une abomination calculatoire, à la limite du lisible. Et puis une cinquantaine d'années après des gens comme Baker (je crois) ont trouvé une preuve, qui sans être simple, est à la portée de tout un chacun de niveau maîtrise-agreg. On doit être reconnaissant aux découvreurs mais aussi à ceux qui ont su mettre ces découvertes à notre portée.
Sur ces fortes paroles bonne fin de journée à tous,
Guy

borde · October 2005

Oui, j'approuve l'idée émise dans le post de Guy : il me semble tout aussi important de simplifier (ou clarifier) des preuves de résultats existants que de trouver de nouveau théorèmes. Je rajouterais à la liste d'exemples de Guy la démonstration du TNP par Erdös et Selberg en 1949...près de 50 ans après la preuve analytique d'Hadamard et de La Vallée Poussin, mais tout aussi spectaculaire (et même plus, selon moi).
 
 Quant à Louis Comtet, je m'associe à Guy pour recommander ses livres : Analyse Combinatoire, tomes 1 et 2, collection "Que sais-je?", PUF (1971)...J'ai pu les dénicher au fin fond d'un CDI d'un lycée qui voulait...s'en débarrasser (!). Je crois qu'il existe (chez Springer, Guy confirmera ou non) une version anglaise réunissant les deux tomes...qui se doit d'être dans sa bibliothèque personnelle, tant les résultats y sont nombreux et souvent très importants.
 
 Dans un autre fil, j'ai mentionné une inégalité pour les dénumérants...Le livre de Comtet est à la base de ce travail...
 
 Borde.

Richard André-Jeannin1 · October 2005

Bonsoir Borde.
Ta plume a fourché. Comtet était bien publié aux PUF, mais pas dans la collection "que sais-je?". C'était dans la collection "sup", section "le mathématicien". Il y avait plein de chefs d'oeuvre dans cette collection, aujourd'hui disparue, dont le cours d'arithmétique de Serre.
J'ai appris qu'une nouvelle édition du Comtet est en préparation chez Cassini (<http://www.cassini.fr/>). Avis aux amateurs.
Quand j'étais en premier cycle à Orsay (fin des années 60), Comtet était l'assistant de L. Lesieur. Je le connaissais de vue, mais je n'étais pas dans son groupe de TD.

TheVelho · October 2005

Ca devait être l'époque où on faisait vraiment des maths en deug de maths...

Robomarc1 · October 2005

J'en viens à regretter encore plus d'avoir prêté-perdu le seul tome un que j'avais pu me payer. Car ils étaient chers, et ont trainé longtemps dans les rayonnages des librairies. Justice leur est rendue.
 
 En attendant leur réedition, voila ce que je viens de trouver:
 
 <a href=" http://www.combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r16.pdf"> http://www.combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r16.pdf</a>
 
 On y retrouve les noms de Dominique Foata, dont je garde religieusement les cours de maîtrise et de Dess, et celui de soeur Céline dans son oeuvre profane.
 
 C'est court, mais ça va m'occuper je le sens. Bon plaisir à vous !
 
 Marc

borde · October 2005

Tu as raison, RAJ, j'ai tendance à confondre les deux collections...

A +

Borde.

Une identité d'Abel

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30