Une identité d'Abel
Salut à tous les matheux,
<BR>J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img1.png" ALT="$ a$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="10" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img2.png" ALT="$ b$"></SPAN> sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="222" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$"></DIV><P></P>et tenez-vous bien le résultat est indépendant de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"></SPAN> et vaut <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="59" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img5.png" ALT="$ (a+b)^n$"></SPAN> ce qui généralise le binôme de Newton (faire <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img6.png" ALT="$ x=0$"></SPAN>).
<BR>J'ai bien essayé de dériver par rapport à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"></SPAN> en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="42" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img7.png" ALT="$ n=2$"></SPAN> ou <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img8.png" ALT="$ 3$"></SPAN> la formule est exacte.
<BR>Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
<BR>Avez-vous une idée ?<BR>
<BR>J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img1.png" ALT="$ a$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="10" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img2.png" ALT="$ b$"></SPAN> sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="222" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img3.png" ALT="$\displaystyle \sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$"></DIV><P></P>et tenez-vous bien le résultat est indépendant de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"></SPAN> et vaut <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="59" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img5.png" ALT="$ (a+b)^n$"></SPAN> ce qui généralise le binôme de Newton (faire <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="41" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img6.png" ALT="$ x=0$"></SPAN>).
<BR>J'ai bien essayé de dériver par rapport à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img4.png" ALT="$ x$"></SPAN> en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="42" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img7.png" ALT="$ n=2$"></SPAN> ou <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/10/12/67737/cv/img8.png" ALT="$ 3$"></SPAN> la formule est exacte.
<BR>Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
<BR>Avez-vous une idée ?<BR>
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Réponses
$\displaystyle \sum_{k=0}^n C_n^k x (x+k)^{k-1} (y+n-k)^{n-k}=(x+y+n)^n$
et ton identité doit s'en déduire par changements de notations.
Bref c'est pas du tout trivial...
Je ne savais pas qu'il y avait des problèmes si compliqués avec les cnp
Mauricio
1. $$(a+b)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom {2n-k-1}{n-1} (a^k + b^k) \left ( \frac {ab}{a+b} \right )^{n-k}.$$
2. Sommes partielles du développement binomial : pour tout entier $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on a $$\sum_{i=0}^{k} \binom {n}{i} a^{n-i}b^i = (n-k) \binom {n}{k} \int_{b}^{a+b} t^k (a+b-t)^{n-k-1} \, dt.$$
Borde.
$((a-kx)+(b+kx))^n$ !
Ce serait un bon exo piège...
J'ai trouvé dans mon dico de math préféré l'identité suivante où $a$ et $b$ sont 2 éléments non nuls d'un corps commutatif pour simplifier. On additionne $$\sum_{k=0}^n aC_n^k(a-kx)^{k-1}(b+kx)^{n-k}$$ et tenez-vous bien le résultat est indépendant de $x$ et vaut $(a+b)^n$ ce qui généralise le binôme de Newton (faire $x=0$).
J'ai bien essayé de dériver par rapport à $x$ en espérant trouver 0 mais je n'ai rien trouvé de sympa dans les calculs. Par récurrence ça n'a pas l'air très sympa non plus. Pour $n=2$ ou $3$ la formule est exacte.
Tout cela me paraît procéder d'une alchimie calculatoire mystérieuse.
Avez-vous une idée ?
Cela donne une triple somme toute moche mais on peut peut-être en faire quelque chose (j'avoue ne pas avoir encore essayé !)
Je voudrais aussi remercier Borde qui m'a mis sur la voie de Louis Comtet que j'ai eu comme formateur à l'agreg (un homme dont la gentillesse n'a d'égal que la compétence) et je m'en veux de ne pas avoir pensé à lui qui a commis un ouvrage de référence internationale sur la combinatoire qui, en France et en français était encore introuvable il y a peu. J'ai trouvé la preuve selon Louis Comtet de l'identité d'Abel et c'est assez simple et lisible. N'empêche je persiste à trouver que ce calcul procède d'une alchimie calculatoire mystérieuse et le mystère persiste.
On est en manque d'une belle idée qui permettrait d'expliquer ce calcul simplement.
Cela me rappelle le théorème de Wedderburn qui (Jacques Vauthier dixit) était une abomination calculatoire, à la limite du lisible. Et puis une cinquantaine d'années après des gens comme Baker (je crois) ont trouvé une preuve, qui sans être simple, est à la portée de tout un chacun de niveau maîtrise-agreg. On doit être reconnaissant aux découvreurs mais aussi à ceux qui ont su mettre ces découvertes à notre portée.
Sur ces fortes paroles bonne fin de journée à tous,
Guy
<BR>
<BR>Quant à Louis Comtet, je m'associe à Guy pour recommander ses livres : <I>Analyse Combinatoire, tomes 1 et 2</I>, collection "Que sais-je?", PUF (1971)...J'ai pu les dénicher au fin fond d'un CDI d'un lycée qui voulait...s'en débarrasser (!). Je crois qu'il existe (chez Springer, Guy confirmera ou non) une version anglaise réunissant les deux tomes...qui se doit d'être dans sa bibliothèque personnelle, tant les résultats y sont nombreux et souvent très importants.
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<BR>Dans un autre fil, j'ai mentionné une inégalité pour les dénumérants...Le livre de Comtet est à la base de ce travail...
<BR>
<BR>Borde.<BR>
Ta plume a fourché. Comtet était bien publié aux PUF, mais pas dans la collection "que sais-je?". C'était dans la collection "sup", section "le mathématicien". Il y avait plein de chefs d'oeuvre dans cette collection, aujourd'hui disparue, dont le cours d'arithmétique de Serre.
J'ai appris qu'une nouvelle édition du Comtet est en préparation chez Cassini (<http://www.cassini.fr/>). Avis aux amateurs.
Quand j'étais en premier cycle à Orsay (fin des années 60), Comtet était l'assistant de L. Lesieur. Je le connaissais de vue, mais je n'étais pas dans son groupe de TD.
<BR>
<BR>En attendant leur réedition, voila ce que je viens de trouver:
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<BR><a href=" http://www.combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r16.pdf"> http://www.combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r16.pdf</a>
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<BR>On y retrouve les noms de Dominique Foata, dont je garde religieusement les cours de maîtrise et de Dess, et celui de soeur Céline dans son oeuvre profane.
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<BR>C'est court, mais ça va m'occuper je le sens. Bon plaisir à vous !
<BR>
<BR>Marc<BR>
A +
Borde.