continuité d'une norme
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Soit $E$ un espace vectoriel normé, de norme $|| \cdot ||$.
1) D'après ce que j'ai pu lire, l'application norme : $|| \cdot || : E \to \R_+ $ est continue.
Cela est-il vrai aussi bien si $E$ est de dimension finie que si $E$ est de dimension infinie ?
2) Comment démontre t-on la continuité de la norme ?
Est-ce que la démonstration suivante, que j'ai faite, vous paraît juste :
Il faut arriver à montrer que, pour $x_0$ arbitraire dans $E$ on a :
$\forall \varepsilon >0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall x \in E$,
$x \in B(x_0, \alpha[ \Rightarrow ||x|| \in ]||x_0||-\varepsilon, ||x_0||+\varepsilon [ $ (relation 1)
où $B(x_0, \alpha[$ note la boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $\alpha$.
démonstration :
Soit $x_0 \in E$
Soit $\varepsilon > 0$, montrons qu'on peut trouver un $\alpha \in R_+^*$ telle que la relation 1 ci-dessus soit satisfaite.
Soit $x\in E$, $x \in B(x_0, \alpha[$
Alors : $||x - x_0|| < \alpha$
En employant la seconde inégalité triangulaire, on a :
$| (||x|| - ||x_0||)| \leq ||x-x_0|| < \alpha$
D'où :
$ - \alpha + ||x_0|| < ||x|| < \alpha + ||x_0||$
Donc en prenant $\alpha = \varepsilon$, on a bien l'implication demandée et $|| \cdot ||$ est continue sur $E$.
Est-ce que cela vous semble juste pour démontrer la continuité de la norme ?
Merci.
Soit $E$ un espace vectoriel normé, de norme $|| \cdot ||$.
1) D'après ce que j'ai pu lire, l'application norme : $|| \cdot || : E \to \R_+ $ est continue.
Cela est-il vrai aussi bien si $E$ est de dimension finie que si $E$ est de dimension infinie ?
2) Comment démontre t-on la continuité de la norme ?
Est-ce que la démonstration suivante, que j'ai faite, vous paraît juste :
Il faut arriver à montrer que, pour $x_0$ arbitraire dans $E$ on a :
$\forall \varepsilon >0$, $\exists \alpha > 0$, $\forall x \in E$,
$x \in B(x_0, \alpha[ \Rightarrow ||x|| \in ]||x_0||-\varepsilon, ||x_0||+\varepsilon [ $ (relation 1)
où $B(x_0, \alpha[$ note la boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $\alpha$.
démonstration :
Soit $x_0 \in E$
Soit $\varepsilon > 0$, montrons qu'on peut trouver un $\alpha \in R_+^*$ telle que la relation 1 ci-dessus soit satisfaite.
Soit $x\in E$, $x \in B(x_0, \alpha[$
Alors : $||x - x_0|| < \alpha$
En employant la seconde inégalité triangulaire, on a :
$| (||x|| - ||x_0||)| \leq ||x-x_0|| < \alpha$
D'où :
$ - \alpha + ||x_0|| < ||x|| < \alpha + ||x_0||$
Donc en prenant $\alpha = \varepsilon$, on a bien l'implication demandée et $|| \cdot ||$ est continue sur $E$.
Est-ce que cela vous semble juste pour démontrer la continuité de la norme ?
Merci.
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Réponses
Parce-que si c'est la topologie induite par la norme, c'est une trivialité, non ? La topologie induite n'est-elle pas la topologie la moins fine qui rend la norme continue ?
Si c'est une autre topologie, ça ne me paraît pas gagné, sauf si on est en dimension finie et qu'on prend la topologie associée à une autre norme.
Cordialement,
Omega.
Edit : je viens de voir que le message initial datait d'il y a 6 ans, je crois que j'ai répondu dans le vide...
Par ailleurs si $E$ est u nensemble et $f$ est une application de $E$ dans un espace topologique $(F,T)$ l'expression {\it topologie la moins fine rendant continue $f$} désigne ll'intersection $Z$ des topologies qui contiennent les images réciproques des éléments de $T$ par $f$. En particulier, si $f(a)=f(b)$ et si un élément $U\in Z$ vérifie $a\in U$ alors ça veut dire que $a$ est dans une réunion $U=\cup E_i$ d'intersections finies $\cap F_{i,j}$ d'images réciproques d'éléments de $T$ par $f$. Il s'ensuit qu'il existe un i tel que pour tout j $a\in F_{i,j}$, chaque $F_{i,j}$ étant de la forme $\{x | f(x)\in V_{i,j}\}$. Il s'ensuit que $b\in U$ aussi.
Autrement dit, $Z$ ne distingue jamais des éléments ayant la même image par $f$.
Ceci est valable pour n'importe quelle application, pas seulement la norme.
si tu as un espace topologique $(F,T)$ et une application $f$ d'un ensemble $E$ dans $F$, prendre la topologie la moins fine à mettre sur $E$ qui rend continue $f$, c'est juste transporter la topologie induite par $(F,T)$ sur $Im(f)$ à l'espace quotient $E/==$ où $==$ est définie par $x==y\iff f(x)=f(y)$. Autrement dit, en gros, c'est ne rien faire, même si le mot "topologie la moins fine qui" est ronflant
Après tu peux éventuellement rajouter topologie la moins fine d'espace vectoriel topologique qui , mais là tu auras plus de travail à faire car il faudra vérifier qu'il existe bien une telle topologie, etc.
En fait, la notion de norme sert à définir les voisinages de $0$ plus que les ouverts. Puis une fois que tu as les voisinages de $0$, tu as tous les ouverts d'un evt.
Ah et puis j'en profite pour te dire que ça me fait plaisir que tu sois revenu sur le forum
En dimension infinie, pour un evn quelconque, je ne crois pas que ça soit vrai, même pour un Hilbert, je pense que la topologie la moins fine parmi toutes les topologies qui rendent la norme du Hilbert continue et invariantes par translation donne en fait... la topologie faible (me semble-t-il
edit: Ah non, d'ailleurs, même pas en dimension infinie, ça donne une topologie qui semble tordue qui ressemble hybridement à la faible, mais comme ça tourne, ça donne des espèces de pointes qui ne partent pas à l'infini, mais qui peuvent partir très loin.