la somme 1+1/2+...+1/n

erik28
erik28
dans Les-mathématiques
Bonjour,

Je n'arrive pas à démontrer que la suite définie par :
Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
tend vers l'infini.
Merci de m'indiquer un lien vers une démonstration si vous en connaissez un.

Réponses

  • CQFD
    CQFD
    La suite $u_n$ vérifie : $u_{2n}-u_{n}\ge\dfrac{1}{2}$ donc elle n'est pas de Cauchy.
    On en déduit qu'elle n'est pas convergente.
    Comme la suite est croissante, si elle était bornée, alors elle serait convergente; ce n'est pas le cas, donc la suite n'est pas bornée, donc tend vers $+\infty$.
  • bisam0
    bisam0
    Si tu ne connais pas les suites de Cauchy, tu peux aussi montrer directement par l'absurde qu'elle n'est pas convergente grâce à la propriété démontrée par CQFD.

    Tu peux aussi montrer par récurrence que Un>=ln(n), ce qui prouve aussi que Un tend vers +oo.
  • Tertiath
    Tertiath
    Sinon, si Tu sais pas cue qu'est une suite de Cauchy, tu peux faire exactement pareil et dire juste que (Un) DV car sinon U(2n)-U(n)->0:
    (allez je suis en forme, je rédige... lol J'ai juste à recopier ce qui é déjà été dit de toute façon... :p)

    Posons Un=1+1/2+1/3+...+1/n

    Alors (Un) est croissante car U(n+1)-U(n)=1/(n+1)>0.

    U(2n)-U(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) (il y a 2n-(n+1)+1=n termes)
    Donc U(2n)-U(n)$\geq$n(1/(2n))=1/2

    Donc (Un) DV car si elle convergeait, on aurait U(2n)-U(n)->0 qd n->+$\infty$, ce qui n'est pas le cas, puisque supérieur ou égal à 1/2.

    Donc (Un) diverge et est croissante, donc elle tend vers +$\infty$.
  • Tertiath
    Tertiath
    Eh ben je suis trop lent à taper ! :p
  • erik28
    erik28
    OK J'ai compris comment faire.

    merci.
  • heiberg
    heiberg
    Regarde bien,

    $u_n$ = $\sum_{k=2}^{+$\infty$}$ 1+1/k

    Or 1$\leq$1+1/k

    d'où

    $\sum_{k=2}^{+$\infty$}$1$\leq$$\sum_{k=2}^{+$\infty$}$ 1+1/k

    Or $\sum_{k=2}^{+$\infty$}$1=+$\infty$

    D'après le théorème de comparaison, tu conclues que ($u_n$) tend vers plus l'infini.
  • heiberg
    heiberg
    desolé pour le signe $\infty$, vous avez compris... (si quelqu'un peut corriger)
  • Aldo0
    Aldo0
    heiberg

    Dans ta première ligne, un = ...
    j'aurais plutôt vu le 1+ avant le sigma.

    Aldo.
  • gougou
    gougou
    la solution de Heiberg est plus que bizarre...
  • gougou
    gougou
    on pourrait montrer la divergence de n'importe quelle série avec cette méthode !!
  • Tertiath
    Tertiath
    Dans ca qu'à ecris Heinberg, y'a un truc bizarre!
    Ce que dis Aldo est important! Je pense que y'a une erreur dès le début, non ?
    En quoi Un qui est la série de terme général 1/n est égale à:
    $u_n$ = $\sum_{k=2}^{$\infty$}$ 1+1/k\\

    C'est plutot:
    $u_n$ = $1+$$\sum_{k=2}^{$\infty$}$ 1/k\\
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Tu peux aussi comparer ta série avec une intégrale (en l'occurence l'intégrale de $x \rightarrow \frac{1}{x}$)

    P.S: rien.
  • erik28
    erik28
    En fait l'exercice consistait à démontrer que

    1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n) converge

    donc ça c'est fait

    mais je n'arrive pas à montrer que la limite est "strictement" positive.
  • gougou
    gougou
    si tu poses un=1+1/2+..+1/n-ln(n)
    et vn=1+1/2.... +1/n -ln(n+1)

    elles sont adjacentes, et par exemple v1>0, (vn) croissante

    donc la limite commune (constante d'Euler) est >0
  • raito kun
    raito kun
    ma questionN comment vous êtes arrive a U(2n)+Un>=1/2 ,, merci de me répondre
  • gerard0
    gerard0
    Bonsoir Raito Kun.

    on n'y est pas arrivé, car c'est faux !

    Mais $u_{n+1}+u_{n+2}+...+u_{2n-1}+u_{2n}\ge \frac1 2$ est évident si tu remplaces chaque terme de la somme par le plus petit.

    Cordialement.
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