aire de l'intersection de 2 cercles
dans Les-mathématiques
Bonjour,
Existe-t-il une méthode pour calculer l'aire de la figure créée par l'intersection de deux cercles ? Ou au moins faire une approximation ? Et si oui, laquelle donc ?
C'est juste pour satisfaire ma curiosité, mais je crois que je ne vais pas réussir à dormir tant que je n'aurais pas trouvé la réponse
Merci d'avance pour vos réponses !
Existe-t-il une méthode pour calculer l'aire de la figure créée par l'intersection de deux cercles ? Ou au moins faire une approximation ? Et si oui, laquelle donc ?
C'est juste pour satisfaire ma curiosité, mais je crois que je ne vais pas réussir à dormir tant que je n'aurais pas trouvé la réponse
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Réponses
en fait en faisant un dessin de deux cercles qui s'intersectent.. puis en traçant une droite qui sépare l'intersection en deux j'ai l'impression qu'on a l'aire comme une certaine l'aire du cercle - (une portion du cercle + un triangle) ... je dois partir mais je pense que c'est une bonne piste dommage que je puisse pas dessiner...
Pour deux cercles de rayons 1 qui s'intersectent l'aire de l'intersection semble être: ...
$\pi$ - (1/2).Arccos($\frac{2 - l^2}{4}$) + (l/4).$\sqrt{4-l^2}$
Ma formule est à mutiplier par 2.
@+
Soient $A$ et $B$ les points d'intersection des deux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, $C_{1}$ et $C_{2}$ leurs centres respectifs, $R_{1}$ et $R_{2}$ leurs rayons respectifs, $H$ le milieu de $AB$, $\theta_{1}$ l'angle $AC_{1}B$ et $\theta_{2}$ l'angle $AC_{2}B$.
L'aire $A_{2}$ de la région définie par le secteur angulaire $AC_{2}B$ moins le triangle $AC_{2}B$ vaut:
$$R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-\frac{AB.C_{2}H$$
Or $AB=2AH=2R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})$
et d'après Pythagore, $HC_{2}^{2}=R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})$.
Donc $A_{2}=R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})}$
Même chose pour $A_{1}$ définie similairement. Donc l'aire cherchée est $A_{1}+A_{2}$.
Cela dit, ce n'est peut-être valable que si H est entre $C_{1}$ et $C_{2}$ , $R_{i}\leq C_{1}C_{2}$ pour i élément de {1,2}.
Sylvain
C'est encore un coup du lathèque, ça. Richard, vous êtes un sage, vous qui boycottez ce truc capricieux.
[Lorsqu'on ouvre une { il ne faut pas oublier de la fermer. AD]
Soient $A$ et $B$ les points d'intersection des deux cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, $C_1$ et $C_2$ leurs centres respectifs, $R_1$ et $R_2$ leurs rayons respectifs, $H$ le milieu de $AB$, les angles $\theta_1=\widehat{AC_1B}$ et $\theta_2=\widehat{AC_2B}$.
L'aire $A_2$ de la région définie par le secteur angulaire $AC_2B$ moins le triangle $AC_2B$ vaut : $$R_2^2\frac{\theta_2}{2}-\frac{AB.C_2H}{2}$$ Or $AB=2AH=2R_2\sin\left(\frac{\theta_2}{2}\right)$ et d'après Pythagore, $HC_2^2=R_2^2-\sin^2\left(\frac{\theta_2}{2}\right)$.
Donc $A_2=R_2^2\frac{\theta_2}{2}-R_2\sin\left(\frac{\theta_2}{2}\right)\sqrt{R_2^2-\sin^2(\frac{\theta_2}{2})}$
Même chose pour $A_1$ définie similairement. Donc l'aire cherchée est $A_1+A_2$.
Cela dit, ce n'est peut-être valable que si $H$ est entre $C_1$ et $C_2$ , $R_{i}\leq C_1C_2$ pour $i \in\{1,2\}$.
Sylvain
Pour moi l'intersection de 2 cercles est formée de 0, 1 ou 2 points, donc d'aire nulle !
Alain
"Je n'arrête de vous le dire, Sylvain"
ta oublier le "pas" ou "jamais" ...
Au final on a:
$A_{2}=R_{2}^{2}(\frac{\theta_{2}}{2}-sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{1-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})})$
Sylvain
$A_{2}=\frac{R_{2}^{2}}{2}(\theta_{2}-sin(\theta_{2}))$.
C'est une expression somme toute bien sympathique.
Je ne sais pas ce que les profs du forum en pensent, mais ça ferait un bon exercice pour des lycéens.
Sylvain