aire de l'intersection de 2 cercles

$\pi$ - (1/2).Arccos($\frac{2 - l^2}{4}$) + (l/4).$\sqrt{4-l^2}$

Je crois avoir trouvé:

Soient $A$ et $B$ les points d'intersection des deux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, $C_{1}$ et $C_{2}$ leurs centres respectifs, $R_{1}$ et $R_{2}$ leurs rayons respectifs, $H$ le milieu de $AB$, $\theta_{1}$ l'angle $AC_{1}B$ et $\theta_{2}$ l'angle $AC_{2}B$.

L'aire $A_{2}$ de la région définie par le secteur angulaire $AC_{2}B$ moins le triangle $AC_{2}B$ vaut:

$$R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-\frac{AB.C_{2}H$$

Or $AB=2AH=2R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})$

et d'après Pythagore, $HC_{2}^{2}=R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})$.

Donc $A_{2}=R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})}$

Même chose pour $A_{1}$ définie similairement. Donc l'aire cherchée est $A_{1}+A_{2}$.

Cela dit, ce n'est peut-être valable que si H est entre $C_{1}$ et $C_{2}$ , $R_{i}\leq C_{1}C_{2}$ pour i élément de {1,2}.

Sylvain

En plus ma formule n'est pas correcte: il manque un $R_{2}^2$ devant $sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})$.

Au final on a:

$A_{2}=R_{2}^{2}(\frac{\theta_{2}}{2}-sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{1-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})})$

Sylvain

Remarquons d'ailleurs que d'après les hypothèses que j'ai précisées, on a $0\leq\frac{\theta_{2}}{2}\leq\frac{\pi}{2}$, donc la formule se simplifie en:

$A_{2}=\frac{R_{2}^{2}}{2}(\theta_{2}-sin(\theta_{2}))$.

C'est une expression somme toute bien sympathique.

Je ne sais pas ce que les profs du forum en pensent, mais ça ferait un bon exercice pour des lycéens.

Sylvain