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aire de l'intersection de 2 cercles

Envoyé par Finrod 
Bonjour,
Existe-t-il une méthode pour calculer l'aire de la figure créée par l'intersection de deux cercles ? Ou au moins faire une approximation ? Et si oui, laquelle donc ? :)
C'est juste pour satisfaire ma curiosité, mais je crois que je ne vais pas réussir à dormir tant que je n'aurais pas trouvé la réponse :)

Merci d'avance pour vos réponses !

Il suffit de calculer une intégrale, l'intégrale de la constante 1 sur l'ensemble A de R^2 des points appartennant aux deux cercles, par rapport à la mesure de Lebesgue sur R^2 ;) ...
Re: Calculer l'air de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
avatar
Hum...Il doit y avoir plus simple. Je vais y réfléchir.



Sylvain

- Hey dude, what are your plans for this weekend?
- Well, I think I'll work on Hilbert's 8th problem.
- Stop it, man! Get a girl and have some fun!

Bah je suis meilleur (moins mauvais) en intégration qu'en géométrie...
en fait en faisant un dessin de deux cercles qui s'intersectent.. puis en traçant une droite qui sépare l'intersection en deux j'ai l'impression qu'on a l'aire comme une certaine l'aire du cercle - (une portion du cercle + un triangle) ... je dois partir mais je pense que c'est une bonne piste dommage que je puisse pas dessiner...
J'ai une formule j'ai fait ça un peu à la louche...
Pour deux cercles de rayons 1 qui s'intersectent l'aire de l'intersection semble être: ...
Vous allez rater votre rendez-vous.
<latex>

$\pi$ - (1/2).Arccos($\frac{2 - l^2}{4}$) + (l/4).$\sqrt{4-l^2}$
ou l est la longueur (comprise entre 0 si l'intersection des cercles est réduite à un point et 2 si les cercles sont confondus) de la droite dont je parlais..

Ma formule est à mutiplier par 2.


@+
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
avatar
<latex> Je crois avoir trouvé:

Soient $A$ et $B$ les points d'intersection des deux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$, $C_{1}$ et $C_{2}$ leurs centres respectifs, $R_{1}$ et $R_{2}$ leurs rayons respectifs, $H$ le milieu de $AB$, $\theta_{1}$ l'angle $AC_{1}B$ et $\theta_{2}$ l'angle $AC_{2}B$.

L'aire $A_{2}$ de la région définie par le secteur angulaire $AC_{2}B$ moins le triangle $AC_{2}B$ vaut:

$$R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-\frac{AB.C_{2}H$$

Or $AB=2AH=2R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})$

et d'après Pythagore, $HC_{2}^{2}=R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})$.

Donc $A_{2}=R_{2}^{2}\frac{\theta_{2}}{2}-R_{2}sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{R_{2}^{2}-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})}$

Même chose pour $A_{1}$ définie similairement. Donc l'aire cherchée est $A_{1}+A_{2}$.

Cela dit, ce n'est peut-être valable que si H est entre $C_{1}$ et $C_{2}$ , $R_{i}\leq C_{1}C_{2}$ pour i élément de {1,2}.

Sylvain
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
avatar
Hé bien quoi, pourquoi mon message ne s'affiche pas ? Avec le temps que j'y ai passé !
C'est encore un coup du lathèque, ça. Richard, vous êtes un sage, vous qui boycottez ce truc capricieux.



[Lorsqu'on ouvre une { il ne faut pas oublier de la fermer. AD]

Sylvain

- Hey dude, what are your plans for this weekend?
- Well, I think I'll work on Hilbert's 8th problem.
- Stop it, man! Get a girl and have some fun!
Je n'arrête de vous le dire, Sylvain
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
Bonsoir

Pour moi l'intersection de 2 cercles est formée de 0, 1 ou 2 points, donc d'aire nulle !

Alain
C'est ce que j'ai voulu dire dès le début, mais tout le monde semblait avoir interprété.
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
Ah c'est un jour historique RAJ fait une faute :D
"Je n'arrête de vous le dire, Sylvain"
ta oublier le "pas" ou "jamais" ... :)
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
avatar
<latex> En plus ma formule n'est pas correcte: il manque un $R_{2}^2$ devant $sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})$.

Au final on a:

$A_{2}=R_{2}^{2}(\frac{\theta_{2}}{2}-sin(\frac{\theta_{2}}{2})\sqrt{1-sin^{2}(\frac{\theta_{2}}{2})})$

Sylvain
Re: aire de l'intersection de 2 cercles
il y a neuf années
avatar
<latex> Remarquons d'ailleurs que d'après les hypothèses que j'ai précisées, on a $0\leq\frac{\theta_{2}}{2}\leq\frac{\pi}{2}$, donc la formule se simplifie en:

$A_{2}=\frac{R_{2}^{2}}{2}(\theta_{2}-sin(\theta_{2}))$.

C'est une expression somme toute bien sympathique.

Je ne sais pas ce que les profs du forum en pensent, mais ça ferait un bon exercice pour des lycéens.

Sylvain
La bonne vieille formule du problème de la chèvre attachée au bord d'un pré circulaire...
Désolé, vous n'avez pas la permission d'envoyer ou de répondre dans ce forum.
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