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Equivalent d'une suite

Envoyé par Madec 
Madec
Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonjour

Un peu (beaucoup même !) rouillé sur les équivalents je sollicite une aide :

Soit Un une suite à termes tel que 0 < U0 < 1 vérifiant la relation de récurrence : Un+1 = Un- Un^2

Il est facile de montrer alors que Un strictement décroissante converge vers 0 et que Un~Un-1

On introduit alors an= 1/ Un - 1/ Un-1
Il est facile de montrer alors que lim an =1

Par contre il est demandé d'en déduire un équivalent de Un , et je sèche piteusement.

Nota : une fois obtenu, cet équivalent sert à discuter de la convergence de certaine série ...

Merci d'avance.

Madec
Niceboy06600
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
On peux en deduire que Un est equivalent a 1/n...

Vincent
Riri
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
une sommation des relations de comparaisons doit te permettre de conclure : an equiv 1 >0 et TG d'une série divergente donc sum an de 1 à n equiv n soit 1/un-1/u0 equiv n ou encore un equiv 1/n et donc TG d'une série divergente (ce sont des vagues souvenirs donc pas sur que ce soit bon). sinon tu peux faire des recherches du côté du lemme de l'escalier.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années

Merci .

Madec
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonjour

penser à cesaro

( si v(n) converge vers l alors (v(1)+..+v(n))/n converge vers l)

Oump.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Merci oumpapah

En effet avec Cesaro celà va vite :

(Sigma an)/ n tend vers lim an = 1

et comme sigma an est équivalent à 1/Vn alors Vn est équivalent à 1/n .

Ce Césaro mérite une statue et oumpapah également !

Madec
Bisam
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Cette technique pour obtenir des équivalents est à retenir... Elle sert souvent.
tounet
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
<latex> pour ta culture c'est un cas particulier d'un exo classique, le choix de l'exposant a=-1 pour étudier $$u_{n+1}^{a}-u_{n}^{a}$$ n'est pas &quotaléatoire" !
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonsoir

bon , j'ai deja rappele sur ce site l'etude des suites u(n+1)=f(u(n))
avec x->f(x) " tangente inferieurement à l'identité"

je donne deux exemples simples

a) u(0)=1; u(n+1)= ln(1+u(n)
on a u(n ) qui tend vers 0 en décroissant et on a un equivalent de u(n)
à partir du dl 2 de ln(1+x)..
on a u(n+1) =u(n).( 1-u(n)/2 +o(u(n))
on a avec a non nul qu'on choisira ultérieurement

u(n+1)^a = u(n)^a.( 1- (a/2)u(n)+o(u(n))
u(n+1)^a -u(n)^a = (-a/2)u(n)^(a+1) +u(n)^ao(u(n)

bien sur on choisit a=-1
et on a alors 1/u(n) -1/u(n+1) qui tend vers 1/2
d'ou cesaro etc.

b)u(0) = 1 et u(n+1)=sin(u(n)
on a u(n) qui tend vers 0 en decroissant
je vous laisse poursuivre en developpant le sinus à l'ordre 3 et choisir le b"bon a" tel que u(n+1)^a- u(n)^a ait une limite finie non nulle
vous aurez alors un equivalent de u(n) donnant la divergence de la serie de terme général u(n)..

Oump.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années

Bonsoir ,

Merci pour ces compléments !

J'ai encore un dernier point :

Une autre suite ( Un+1=Un + Un^2 ), on suppose U0 > 1
Il est facile de montrer que la suite Un diverge
et que Un^2 ~Un+1

Puis il est demandé de montrer que Pn= (Ln Un)/ 2^n admet une limite finie:

en partant de U2n avec n grand je montre que
(Ln (U2n))/ 2^2n ~ (Ln(Un))/ 2^n
Ce qui semble indiquer que ce rapport se " stabilise" mais celà ne prouve bien sûr pas qu'il existe une limite finie ; puisque la suite Pn est croissante il suffirait d'exhiber un majorant mais je ne le trouve pas !

Merci pour un dernier coup de main .

Madec
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonsoir

encore un grand classique , je n'ai pas le temps ce soir , ce sera pour demain à moins que quelqu'un s'y colle avant !

oump.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonsoir ,

Oumpapah ,si vous avez un moment , Je reste intéressé par une indication pour traiter ce grand classique .
Merci d'avance .

Madec
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
bonsoir

on a donc u(n) qui tend en croissant vers +oo

on a ln(u(n+1) = 2Ln(u(n) +Ln(1+1/u(n)
d'ou
Ln(u(n+1)/2^(n+1) =ln(u(n))/2^n +1/2^(n+1)Ln(1+1/u(n)
le dernier terme de droite est le terme général d'une serie convergente
par suite la serie de terme general

Ln(u(n+1))/2^(n+1) -Ln(u(n))/2^n
converge et donc la suite Ln(u(n))/2^n converge..

voila pour le debut
A+ si pb

Oump.
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Re,

j'ai dit " voila pour le debut.." car le but final est de montrer qu'il existe a>1
tel que
u(n)~a^(2^n)

Oump.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonsoir,

Merci beaucoup Oumpapah

Pour finir :

lim exp( Ln(Un)/ 2^n)= exp L =a et comme L >0 a>1

d'où lim (Un)^(1/2^n) = a

Par contre je ne pense pas que l'on puisse brutalement en déduire que lim Un/ a^(2^n) = 1
il y a probablement une "astuce " mais je ne la vois pas ...

Madec
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Re

bien vu!

indication : en fait la serie de terme general Ln(1+1/n) converge

on en deduit alors
( en sommant les differences
ln(u(n+1)/2^(n+1) -ln(u(n))/2^n
pour les k>=n au lieu de sommer pour les k<n , astuce.)

qu'en fait :

Ln(u(n)/ 2^n -Lna= e(n)/2^n avec e(n) de limite nulle

d'ou Ln(u(n) = 2^nLna + e(n)
et finalement
u(n)=a^(2^n). exp(e(n) ~a^(2^n)
et vouala..


bonne nuit.

Oump.
Madec
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
Bonjour ,

Merci beaucoup Oumpapah d'y avoir consacré du temps ,
c'est astucieux en effet .

Je pense avoir compris , à noter une petite erreur de frappe .

C'est la série Ln( 1 + 1/un) qui converge(et non Ln(1+1/n)) .

Ce qui permet de majorer la sommation( de n vers l'infini) des termes de droite par du e(n) / 2^n où e(n) reste partiel de la série ci dessus tendra bien vers 0 avec n .

Madec
oumpapah
Re: Equivalent d'une suite
il y a treize années
re,

merci pour la correction de l'erreur de frappe..

et je tiens à dire comme on est content de voir que nos interventions sont utiles!

Cordialement

Oump
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