Equivalent d'une suite

Madec0 · October 2005

Bonjour

Un peu (beaucoup même !) rouillé sur les équivalents je sollicite une aide :

Soit Un une suite à termes tel que 0 < U0 < 1 vérifiant la relation de récurrence : Un+1 = Un- Un^2

Il est facile de montrer alors que Un strictement décroissante converge vers 0 et que Un~Un-1

On introduit alors an= 1/ Un - 1/ Un-1
Il est facile de montrer alors que lim an =1

Par contre il est demandé d'en déduire un équivalent de Un , et je sèche piteusement.

Nota : une fois obtenu, cet équivalent sert à discuter de la convergence de certaine série ...

Merci d'avance.

Madec

Niceboy066000 · October 2005

On peux en deduire que Un est equivalent a 1/n...

Vincent

riri · October 2005

une sommation des relations de comparaisons doit te permettre de conclure : an equiv 1 >0 et TG d'une série divergente donc sum an de 1 à n equiv n soit 1/un-1/u0 equiv n ou encore un equiv 1/n et donc TG d'une série divergente (ce sont des vagues souvenirs donc pas sur que ce soit bon). sinon tu peux faire des recherches du côté du lemme de l'escalier.

Madec0 · October 2005

Merci .

Madec

oumpapah2 · October 2005

Bonjour

penser à cesaro

( si v(n) converge vers l alors (v(1)+..+v(n))/n converge vers l)

Oump.

Madec0 · October 2005

Merci oumpapah

En effet avec Cesaro celà va vite :

(Sigma an)/ n tend vers lim an = 1

et comme sigma an est équivalent à 1/Vn alors Vn est équivalent à 1/n .

Ce Césaro mérite une statue et oumpapah également !

Madec

bisam0 · October 2005

Cette technique pour obtenir des équivalents est à retenir... Elle sert souvent.

tounet · October 2005

pour ta culture c'est un cas particulier d'un exo classique, le choix de l'exposant a=-1 pour étudier $$u_{n+1}^{a}-u_{n}^{a}$ n'est pas "aléatoire" !

tounet · October 2005

pour ta culture c'est un cas particulier d'un exo classique, le choix de l'exposant a=-1 pour étudier $$u_{n+1}^{a}-u_{n}^{a}$$ n'est pas &quotaléatoire" !

oumpapah2 · October 2005

Bonsoir

bon , j'ai deja rappele sur ce site l'etude des suites u(n+1)=f(u(n))
avec x->f(x) " tangente inferieurement à l'identité"

je donne deux exemples simples

a) u(0)=1; u(n+1)= ln(1+u(n)
on a u(n ) qui tend vers 0 en décroissant et on a un equivalent de u(n)
à partir du dl 2 de ln(1+x)..
on a u(n+1) =u(n).( 1-u(n)/2 +o(u(n))
on a avec a non nul qu'on choisira ultérieurement

u(n+1)^a = u(n)^a.( 1- (a/2)u(n)+o(u(n))
u(n+1)^a -u(n)^a = (-a/2)u(n)^(a+1) +u(n)^ao(u(n)

bien sur on choisit a=-1
et on a alors 1/u(n) -1/u(n+1) qui tend vers 1/2
d'ou cesaro etc.

b)u(0) = 1 et u(n+1)=sin(u(n)
on a u(n) qui tend vers 0 en decroissant
je vous laisse poursuivre en developpant le sinus à l'ordre 3 et choisir le b"bon a" tel que u(n+1)^a- u(n)^a ait une limite finie non nulle
vous aurez alors un equivalent de u(n) donnant la divergence de la serie de terme général u(n)..

Oump.

Madec0 · October 2005

Bonsoir ,

Merci pour ces compléments !

J'ai encore un dernier point :

Une autre suite ( Un+1=Un + Un^2 ), on suppose U0 > 1
Il est facile de montrer que la suite Un diverge
et que Un^2 ~Un+1

Puis il est demandé de montrer que Pn= (Ln Un)/ 2^n admet une limite finie:

en partant de U2n avec n grand je montre que
(Ln (U2n))/ 2^2n ~ (Ln(Un))/ 2^n
Ce qui semble indiquer que ce rapport se " stabilise" mais celà ne prouve bien sûr pas qu'il existe une limite finie ; puisque la suite Pn est croissante il suffirait d'exhiber un majorant mais je ne le trouve pas !

Merci pour un dernier coup de main .

Madec

oumpapah2 · October 2005

Bonsoir

encore un grand classique , je n'ai pas le temps ce soir , ce sera pour demain à moins que quelqu'un s'y colle avant !

oump.

Madec0 · October 2005

Bonsoir ,

Oumpapah ,si vous avez un moment , Je reste intéressé par une indication pour traiter ce grand classique .
Merci d'avance .

Madec

oumpapah2 · October 2005

bonsoir

on a donc u(n) qui tend en croissant vers +oo

on a ln(u(n+1) = 2Ln(u(n) +Ln(1+1/u(n)
d'ou
Ln(u(n+1)/2^(n+1) =ln(u(n))/2^n +1/2^(n+1)Ln(1+1/u(n)
le dernier terme de droite est le terme général d'une serie convergente
par suite la serie de terme general

Ln(u(n+1))/2^(n+1) -Ln(u(n))/2^n
converge et donc la suite Ln(u(n))/2^n converge..

voila pour le debut
A+ si pb

Oump.

oumpapah2 · October 2005

Re,

j'ai dit " voila pour le debut.." car le but final est de montrer qu'il existe a>1
tel que
u(n)~a^(2^n)

Oump.

Madec0 · October 2005

Bonsoir,

Merci beaucoup Oumpapah

Pour finir :

lim exp( Ln(Un)/ 2^n)= exp L =a et comme L >0 a>1

d'où lim (Un)^(1/2^n) = a

Par contre je ne pense pas que l'on puisse brutalement en déduire que lim Un/ a^(2^n) = 1
il y a probablement une "astuce " mais je ne la vois pas ...

Madec

oumpapah2 · October 2005

Re

bien vu!

indication : en fait la serie de terme general Ln(1+1/n) converge

on en deduit alors
( en sommant les differences
ln(u(n+1)/2^(n+1) -ln(u(n))/2^n
pour les k>=n au lieu de sommer pour les k<n , astuce.)

qu'en fait :

Ln(u(n)/ 2^n -Lna= e(n)/2^n avec e(n) de limite nulle

d'ou Ln(u(n) = 2^nLna + e(n)
et finalement
u(n)=a^(2^n). exp(e(n) ~a^(2^n)
et vouala..

bonne nuit.

Oump.

Madec0 · October 2005

Bonjour ,

Merci beaucoup Oumpapah d'y avoir consacré du temps ,
c'est astucieux en effet .

Je pense avoir compris , à noter une petite erreur de frappe .

C'est la série Ln( 1 + 1/un) qui converge(et non Ln(1+1/n)) .

Ce qui permet de majorer la sommation( de n vers l'infini) des termes de droite par du e(n) / 2^n où e(n) reste partiel de la série ci dessus tendra bien vers 0 avec n .

Madec

oumpapah2 · October 2005

re,

merci pour la correction de l'erreur de frappe..

et je tiens à dire comme on est content de voir que nos interventions sont utiles!

Cordialement

Oump

Equivalent d'une suite

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