forme quadratique

GG5
GG5
dans Les-mathématiques
bonjour,
petite question ingénue : dans un A (commutatif)- module non nécessairement libre, pour toute forme quadratique Q, existe-t-il toujours une forme bilinéaire B telle que Q(x) = B(x,x) ?

Réponses

  • J2L21
    J2L21
    A ma connaissance, on définit une forme quadratique Q en s'aidant de la forme bilinéaire appelée la forme polaire de Q
  • GG5
    GG5
    P.S. dans le cas car = 2, bien sûr.
  • GG5
    GG5
    bonjour J2L2,
    nos messages se sont croisés : dans le cas car =2, il n'y a pas de forme polaire me semble-t-il.
  • J2L21
    J2L21
    Bonjour GG

    pourquoi dis-tu cela ?

    que penser de B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2 ? tous les éléments seraient orthogonaux !
  • J2L21
    J2L21
    J'ai évidemment écrit une ânerie en divisant par 1+1=0, mais il me semble que le problème est une question de définition : qu'est-ce qu'une forme quadratique dans le cas car=2 ? (par ex : Q(aX)=a^2.Q(X) ?)
  • GG5
    GG5
    Salut J2L2,
    je pars de la déf. la plus générale dans un A-module M : une forme quadratique est une application Q : M -> A vérifiant Q(ax) = a^2.Q(x) et B(x,y) = Q(x+y)-Q(x)-Q(y) forme bilinéaire (symétrique).

    Si car(A) diff. 2, il existe une unique forme bilinéaire symétrique F vérifiant Q(x) = F(x,x) : 1/2 B(x,y).
    Supposons car(A) = 2. Alors si M est libre, il existe "autant qu'on veut" de formes linéaires F vérifiant Q(x) = F(x,x), symétriques si Q est une somme de carrés, non symétriques dans le cas contraire.

    Que se passe-t-il quand M ne possède pas de base ?
  • GG5
    GG5
    P.S. erreur : Si 2 inversible à la place de car(A) diff. 2
  • GG5
    GG5
    P.S bilinéaires à la place de linéaire, décidément :)
  • GG5
    GG5
    Personne n'a une petite idée ?
    C'est juste une question de curiosité intellectuelle car de toute évidence, je n'aurai jamais affaire dans ma vie avec des formes quadratiques sur un module prisonnier :)
  • fqfb
    fqfb
    Bonsoir GG, 6 ans (!) après je me pose la même question. Aviez-vous fini par trouver un (contre-)exemple ?
  • GG
    GG
    salut fqfb,

    ouff ... non. D'ailleurs je ne me souviens même plus m'être posé cette question ! ...
    Alzheimer menace ! ... :)
  • fqfb
    fqfb
    :D

    Pour écarter encore un cas, je crois qu'on ne peut pas avoir de contre-exemple sur un Z-module.
  • GreginGre
    GreginGre
    En fait, la question de GG est mal posée :D

    En effet, les formes quadratiques obtenues à partir de formes bilinéaires symétriques ne sont guère intéressantes en caractéristique $2$, même sur un corps: si $Q_B(x)=B(x,x)$, avec $B$ bilinéaire symétrique, alors
    $Q_B(x+y)=Q_B(x)+Q_B(y)$ puisque $2=0$. On obtient donc des formes quadratiques totalement dégénérées (diagonales).


    D'ailleurs, en caractéristique $2$, une forme quadratique n'est pas déterminée par sa forme polaire. Il existe une infinité de formes quadratiques $Q$ de même forme polaire.

    Par exemple, les formes quadratiques du type $\sum_i a_i x_i^2+x_iy_i+ b_i y_i^2$ ont toute la même forme polaire.

    Bon, je sais que je réponds à côté de la question...:D
  • fqfb
    fqfb
    Bonjour GreginGre, oui il faut lire les derniers messages de GG, il y explique pourquoi il faut au moins que 2 ne soit pas inversible dans A et que M ne soit pas libre.
    Comme je l'écrivais hier, chercher des exemples de Z-modules ne suffit pas non plus.
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