Somme des 1/k
dans Les-mathématiques
Bonjour !
Je suis en école d'ingé à Rouen et j'ai un ptit probleme.
Je ne sais plus si on peut simplifier, la somme des 1/k pour k variant de 1 à n.
Si quelqu'un connait une réponse ce serait sympa qu'il me la donne.
Merci
Je suis en école d'ingé à Rouen et j'ai un ptit probleme.
Je ne sais plus si on peut simplifier, la somme des 1/k pour k variant de 1 à n.
Si quelqu'un connait une réponse ce serait sympa qu'il me la donne.
Merci
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Réponses
Par contre cette somme est équivalente en l'infini à ln(n)+c, où c est la constante d'Euler (environ 0,577 je crois).
$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k} \sim ln(n) +\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+O(\frac{1}{n^3})$
En utilisant la formule dEuler Mac Laurin.
les équivalents ne tiennent compte que du premier terme, tu dois écrire une égalité !
lolo qui rabâche ça à ces étudiants sans arrêt !
($n^{\text{ième}}$ nombre harmonique)
C'est de l'humour...
$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k} \sim ln(n) +\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}$
Comme celle ci aussi
$\sum_{k=0}^n \frac{1}{k} \sim ln(n) +\gamma +\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^17}$...
Bon j' arrête d' écrire n' importe quoi...
Au fait dans le même registre doit t-on écrire $u_n \in O(\frac{1}{n})$ ou $u_n=O(\frac{1}{n})$ Pour moi cela serait plutot la première étant donné que $O(\frac{1}{n}$ est un ensemble de fonctions mais je vois souvent la seconde écriture...
De plus, on peut éviter le recours à des équivalents en donnant de bons encadrement explicites : pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $$\ln n + \gamma + \frac {1}{2n} - \frac {1}{12n^2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} \leqslant \ln n + \gamma + \frac {1}{2n}$$ par exemple.
Borde.
ce sont en effet les nombres harmoniques H(n)=1+1/2+1/3+.....+1/n
ils ont quelques propriétés arithmétiques:
les nombres harmoniques sont rationnels irréductibles (ils ne sont jamais entiers)
lorsque n est impair premier du type 2p+1 alors H(2p) une fois réduit comporte au numérateur (2p+1)² (borde connaît-il une démonstration?)
sinon les facteurs premiers au numérateur de H(n) réduit sont affectés d'un exposant égal à 1
la somme des nombres harmoniques arrêtée à n est égale à
(n+1)[H(n+1) - 1]
les nombres harmoniques interviennent comme coefficients dans le développement polynomial de ln²(1-x) pour x < 1
d'autre part la somme infinie de H(n)/(n+1)² donne zéta(3) (valeur pour 3 de la fonction Zéta)
cordialement
quelle est la distance de $\Bbb N$ à l'ensemble des nombres harmoniques ? Est-ce $0$ comme on serait tenté de le croire ?
http://auriolg.free.fr/doc/wolstenhome.pdf
Oui la distance de $H_n$ à $\N$ est bien nulle! En fait on a même plus la suite $H_n mod 1$ est dense dans [0,1].
En effet plus généralement si $u_n$ est une suite tendant vers $+\infty$ telle que $lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1}-u_n=0$ alors $u_n mod 1$ est dense dans [0,1]. La suite $H_n$ rentre parfaitement dans ce cadre.
La démo de ce fait n'est pas très dure et le résultat est assez intuitif
alors dans ce cas $\ \displaystyle \ln n + \gamma + \frac {1}{2n} - \frac {1}{12n^2}\ <\ f(t,\alpha ,\beta )\ <\ \ln n + \gamma + \frac {1}{2n}$
avec $\ \displaystyle \ \alpha \ =\ \ln n + \gamma + \frac {1}{2n} - \frac {1}{12n^2}\ $ et $\displaystyle \ \beta \ =\ \ln n + \gamma + \frac {1}{2n}\ $ et $\ \forall t\ \in \mathbb {R}\ $ tel que $\ 0\ <\ t\ <\ 1\ $
selon : $\ f(t,\alpha ,\beta )\ =\ \varphi $
Préalable pour déterminer $\ \varphi $
$\mathbb {R}_+^*\ \times \ \mathbb {R}_+^*\ \cup \{0,0\}\ ->\ \mathbb {R}_+\ $ : M(a,b)
M(a,b) est aussi appelée la moyenne arithmético-géométrique de a et b
M(a,b) désigne la limite commune des deux suites adjacentes $(a_n)$ et $(b_n)$ de sorte que $\displaystyle M(a,b)\ =\ lim_{n->\infty }\ a_n\ =\ lim_{n->\infty }\ b_n\ $
en posant $\ a_0\ =\ a\ $ et $\ b_0\ =\ b\ $
et pour $\forall i\ \in \ \mathbb {N}$ on établit :
$\displaystyle \ a_{i+1}\ =\ \frac {a_i+b_i}{2} $ et $\displaystyle \ \sqrt {a_i.b_i} $
on vérifie bien M(0,0)=0 d'où le fait que cette application reste valable décrite comme telle:
$\mathbb {R}_+^*\ \times \ \mathbb {R}_+^*\ \cup \{0,0\}\ ->\ \mathbb {R}_+\ $ : M(a,b)
déterminer $\ f(t,\alpha ,\beta )\ =\ \varphi $
en considérant $\forall x\ \in \mathbb {R}\ $ et $\ \forall y\ \in \mathbb {R}\ $ tels que x < y et $\ \forall t\ \in \mathbb {R}\ $ tel que $\ 0\ <\ t\ <\ 1\ $
l'aplication $\ f(t,x,y)\ =\ z\ \in \ \mathbb {R}$
pour cela en définissant la suite z(n) telle que : $\displaystyle \ z\ =\ lim_{n->\infty }\ z_n$
en posant $\ z_0 \ $ = x + M( t.y - t.x , y - x )
puis en déterminant $\ z_1\ $ = x + M(p,q)
avec $\displaystyle \ p\ =\ abs\ (\ x\ +\ \frac {y}{2}\ -\ \frac {3}{2}.z_0\ )$ et $\displaystyle \ q\ =\ abs\ (\ x\ -\ z_0\ )$
où $\ abs\ (\ x\ )$ désigne la valeur absolue de x
et puis pour $\ \forall i\ \geq 2\ \in \ \mathbb {N}\ $ on établit :
$\ z_i\ $ = x + M(p,q)
avec $\displaystyle \ p\ =\ abs\ (\ x\ -\ z_{i-1}\ +\ \frac {z_{i-2}-z_{i-1}}{(i+1)!}\ )$ et $\displaystyle \ q\ =\ abs\ (\ x\ -\ z_{i-1}\ )$
je reviendrai pour construire un algorithme qui donne la valeur de t en fonction de x,y,z